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当前位置:首页 > 幼儿/小学教育 > 小学教育 > 实变函数_周其生_实变函数试卷三及答案
(第1页,共7页)试卷三(参考答案及评分标准)一、一单项选择题(3分×5=15分)1、设1[,2(1)],1,2,nnAnn,则(B)(A)lim[0,1]nnA(B)nnAlim(0,1](C)lim(0,3]nnA(D)lim(0,3)nnA2、设E是0,1上有理点全体,则下列各式不成立的是(D)(A)'[0,1]E(B)oE(C)E=[0,1](D)1mE3、下列说法不正确的是(C)(A)若BA,则BmAm**(B)有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测(D)凡开集、闭集皆可测4、设}{nE是一列可测集,nEEE21,且1mE,则有(A)(A)nnnnmEEmlim1(B)nnnnmEEmlim1(C)nnnnmEEmlim1;(D)以上都不对5、设f(x)是],[ba上绝对连续函数,则下面不成立的是(B)(A))(xf在],[ba上的一致连续函数(B))(xf在],[ba上处处可导(C))(xf在],[ba上L可积(D))(xf是有界变差函数二.二填空题(3分×5=15分)考生答题不得超此线考生答题不得超此线考生答题不得超此线(第2页,共7页)1、设集合NM,则()MMN______N____2、设P为Cantor集,则Pc,mP_0____,oP=________。3、设E是nR中点集,如果对任一点集T都有___***()()mTmTEmTCE_______,则称E是L可测的4、叶果洛夫定理:设}{,)(nfEm是E上一列..ea收敛于一个..ea有限的函数f的可测函数,则对任意,0存在子集EE,使}{nf在E上一致收敛且)\(EEm。5、设)(xf在E上可测,则)(xf在E上可积的充要条件是|)(xf|在E上可积.(填“充分”,“必要”,“充要”)三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。解:不成立…………2分反例:设Gn=(nn11,11),n=1,2,,每个Gn为开集但1]1,1[nnG不是开集.…………5分2、若0mE,则E一定是可数集.解:不成立………………2分反例:设E是Cantor集,则0mE,但Ec,故其为不可数集…………….5分3、..ae收敛的函数列必依测度收敛。(第3页,共7页)解:不成立………………………2分例如:取(0,),E作函数列:1,(0,]()1,2,0,(,)nxnfxnxn显然()1,nfx当xE。但当01时,[|1|](,)nEfn且(,)mn这说明()nfx不测度收敛到1…………5分4、连续函数一定是有界变差函数。解:不成立………………2分例如:cos,01,()20,0.xxfxxx显然是0,1的连续函数。如果对0,1取分划1111:0122132Tnn,则容易证明21111|()()|nniiiifxfxi,从而得到10()Vf…………………5分四、解答题(8分×2=16分).1、(8分)设2,()0,xxfxx为无理数为有理数,则()fx在0,1上是否R可积,是否L可积,若可积,求出积分值。解:()fx在0,1上不是R可积的,因为()fx仅在0x处连续,即不连续点为正测度集……………………………………..3分因为()fx是有界可测函数,()fx在0,1上是L可积的…6分因为()fx与2x..ae相等,进一步,120,101()3fxdxxdx…8分(第4页,共7页)2、求极限1213220limsin1nnxnxdxnx解:记12322()sin1nnxfxnxnx则)(xfn在[0,1]上连续,因而在[0,1]上(R)可积和(L)可积.……………..2分又]1,0[,0)(limxxfnn………………4分111223222221|()||sin|||211nnxnxfxnxxnxnx,2,1],1,0[nx……….6分且2121x在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得12111322000lim()()limsin001nnnnxRfxdxnxdxdxnx……………、….8分五、证明题(6分×4+10=34分).1、(6分)试证(0,1)~[0,1]证明:记(0,1)中有理数全体12{,,}Qrr,令()x122(0)(1)(),1,2(),[01]nnrrrrnxxx为,中无理数,显然[01]0111是,到(,)上的映射……………………………5分所以(0,1)~[0,1]…………………………………6分(第5页,共7页)2、(6分)设f(x)是),(上的实值连续函数,则对任意常数c,})(|{cxfxE是一开集.证明:.)(,00cxfEx即…………….1分因f(x)连续,故cxfxx)时,有(),(,00.………….4分即Ex)(0.所以0x是E的内点.由0x的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集.……………6分3、(6分)设()fx是可测集E的非负可积函数,()gx是E的可测函数,且|()|()gxfx,则()gx也是E上的可积函数。证明:|()|()gxfx,()(),()()gxfxgxfx…………………1分()()()nnnnEEEgxdxfxdxfxdx()fx是可测集E的非负可积函数limn()()nnEEgxdxfxdx()gx是E上的可积函数.…………………..4分同理,()gx也是E上的可积函数.()gx是E上的可积函数。………………6分4、(6分)设()fx在E上积分确定,且()().fxgxae于E,则()gx在E上也积分确定,且()()EEfxdxgxdx考生答题不得超过此线(第6页,共7页)证明:()().fxgxae于E[]0mEfg[][]()()0EfgEfgfxdxgxdx[][]()()()EEfgEfgfxdxfxdxfxdx[][]()()()EfgEfgEgxdxgxdxgxdx()fx在E上积分确定,()gx在E上也积分确定,且()()EEfxdxgxdx5、(10分)设在E上)()(xfxfn,而..)()(eaxgxfnn成立,,2,1n,则有)()(xfxgn证明:记][nnngfEE,由题意知0nmE由0)(11nnnnmEEm知0)(1nnEm…………2分对任意0,由于]|[|)(]|[|1ffEEfgEnnnn从而有:])|[|(])|[|()(]|[|1ffEmffEmEmfgmEnnnnn…………6分又因为在E上)()(xfxfn,故0])|[|(limffEmnn…………8分所以0])|[|(lim])|[|(lim0ffEmfgEmnnnn于是:0])|[|(limfgEmnn故在E上有)()(xfxgn…………10分(第7页,共7页)
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