实变函数专升本合集

华中师范大学2006–2007学年第一学期期末考试试卷（A卷）（解答）课程名称实变函数课程编号83410014任课教师李工宝、何穗、刘敏思题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15151060100得分得分评阅人一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。（对）2、可测集E上的非负可测函数必Lebesgue可积。（错）3、Rn上全体Lebesgue可测集所组成的集类具有连续势。（错）4、非空开集的Lebesgue测度必大于零。（对）5、若()nfx（1n，2，）和()fx都为可测集E上的可测函数，且lim()()nnfxfx，..ae于E，则()()nfxfx，xE。（错）得分评阅人二、叙述题(共5小题,每题3分，共5×3=15分)1、单调收敛定理（即Levi定理）答：设E是Lebesgue可测集，()nfx(1n，2，)为E上的非负可测函数，若{()nfx}是单调递增的，记()lim()nnfxfx，则lim()()nnEEfxdxfxdx。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共3页)2、Rn中开集的结构定理答：Rn中的任一非空开集总可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。（或Rn中的任一开集或为空集或可表示成Rn中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。）3、Rn中的集合E是Lebesgue可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory定义）答：设nER，如果对任意nTR，总有***()()cmTmTEmTE则称E为Rn中的Lebesgue可测集，或称E是Lebesgue可测的。4、F.Riesz定理（黎斯定理）答：设E为Lebesgue可测集，()nfx(1n，2，)和()fx都是E上的几乎处处有限的可测函数，如果()()nfxfxxE，则存在{()nfx}的一个子列{()knfx}，使得lim()()knkfxfx..ae于E。5、有界闭区间[,]ab上绝对连续函数的定义答：设()fx是定义在有界闭区间[,]ab上实函数，如果0，存在0，使得对[,]ab内任意有限个互不相交的开区间(,)ii1i，2，，n，只要它们的总长1()niii，总有1()()niiiff。则称()fx是有界闭区间[,]ab上绝对连续函数。得分评阅人三、计算题（共1题，共1×10=10分）设0D为[0,]中的零测集，300sin,(),xxxDfxexD，求[0,]()dfxx。解：由题设()sinfxx，..ae于[0,]，而sinx在[0,]上连续，于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得0[0,][0,]0()dsind()sin(cos)2fxxxxRxdxx。得分评阅人四、解答题（共6小题，每题10分，共6×10=60分）1、设F为Rn中的F集，证明：必存在Rn中的一列单调递增的闭集1{}kkF，使得1kkFF。证明：因为F为Rn中的F集，所以一列闭集1{}kkF，使得1kkFF取1kkiiFF，由闭集的性质知kF是闭集，且{kF}单调递增1111()kkikkkikFFFF。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第2页(共3页)2、证明：Rn中互不相交的开区间所构成的集族必为至多可数集。证明：记E为Rn中互不相交的开区间所构成的集族，对任意IE，由有理点的稠密性，I中必存在有理点，取其中的一个有理点记为IrI，并记{}nIBrIEQ，于是B必为至多可数集。作E到B的映射如下：:()IEBIIr由于E中任意两个不同的1I和2I不相交，所以12IIrr，于是是E到B的单射（实际上还是一一映射），所以nEBQ，故E也是至多可数集。3、设()fx是(,)上的实值函数，且()fx在(,)上的任一有限区间上都可测，则()fx在(,)上也可测。证明：因为1(,)[,]nnn，而()fx是[,]nn上的可测函数，所以由可测函数的性质得()fx在(,)上也可测。4、用Fubini定理证明：若(,)fxy为2R=(,+)(,+)上的非负可测函数，则000d(,)dd(,)dxyxfxyyyfxyx。证明：记00{(,)}{(,)}0xyDxyxyyxyx，令(,),(,)(,)0,(,)fxyxyDFxyxyD，由题设易知(,)Fxy也是2R上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理200d(,)dd(,)d(,)ddxRxfxyyxFxyyFxyxy0d(,)dd(,)dyyFxyxyfxyx。5、设E是Rn中的可测集，若（1）1kkEE，其中kE为可测集，12EE；（2）()fx，()nfx(12)n都是E上的可测函数，且lim()()nnfxfx..ae于E；（3）存在E上的Lebesgue可积函数()Fx，使得n，()()nfxFx()xE。证明：()fx在E上也Lebesgue可积，且lim()()nnnEEfxdxfxdx。证明：记()()()nnnEfxfxx，由题设知lim()()nnfxfx..ae于E（事实上xE，存在0n，当0nn时，总有nxE，从而()1nEx，于是()()()()nnnEnfxfxxfx。）又()()()()()nnnEnfxfxxfxFx，()Fx在E上Lebesgue可积所以由Lebesgue控制收敛定理，并注意到()()()()nnnnEnEEEfxdxfxxdxfxdx可得lim()lim()()nnnnnEEEfxdxfxdxfxdx。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第3页(共3页)6、设E是Lebesgue可测集，()nfx(12)n，()fx都是E上的Lebesgue可积函数，若lim()()nnfxfx()xE，且lim()d()dnnEEfxxfxx，证明：（1）()()()()()nnnFxfxfxfxfx在E上非负可测；（2）用Fatou引理证明：lim()()d0nnEfxfxx。证明：（1）由可测函数的运算性质得()()()()()nnnFxfxfxfxfx是E上可测函数，又()()()()nnfxfxfxfx，从而()0nFx，所以()()()()()nnnFxfxfxfxfx在E上非负可测。（2）由题设lim()2()nnFxfx，再由Fatou引理得2()lim()lim[()()()()]nnnnnEEEfxdxFxdxfxfxfxfxdx2()lim()()]nnEEfxdxfxfxdx，即lim()()]0nnEfxfxdx，从而0lim()()]lim()()]0nnnnEEfxfxdxfxfxdx故lim()()d0nnEfxfxx。实变函数练习及答案一、选择题1、以下集合，（）是不可数集合。.A所有系数为有理数的多项式集合；.B[0,1]中的无理数集合；.C单调函数的不连续点所成集合；.D以直线上互不相交的开区间为元素的集。2、设E是可测集，A是不可测集，0mE，则EA是（）.A可测集且测度为零；.B可测集但测度未必为零；.C不可测集；.D以上都不对。3、下列说法正确的是（）.A()fx在[,]abL—可积()fx在[,]abL—可积；.B()fx在[,]abR—可积()fx在[,]abR—可积；.C()fx在[,]abL—可积()fx在[,]abR—可积；.D()fx在,aR—广义可积()fx在[,]abL—可积4、设{}nE是一列可测集，12......,nEEE则有（）.A1()limnnnnmEmE；.B1()limnnnnmEmE；.C1()limnnnnmEmE；.D以上都不对。5、\\\ABCABC成立的充分必要条件是（）.AAB；.BBA；.CAC；.DCA。6、设E是闭区间0,1中的无理点集，则（）.A1mE；.B0mE；.CE是不可测集；.DE是闭集。7、设mE，nfx是E上几乎处处有限的可测函数列，fx是E上几乎处处有限的可测函数，则nfx几乎处处收敛于fx是nfx依测度收敛于fx的（）.A必要条件；.B充分条件；.C充分必要条件；.D无关条件。8、设fx是E上的可测函数，则（）.Afx是E上的连续函数；.Bfx是E上的勒贝格可积函数；.Cfx是E上的简单函数；.Dfx可表示为一列简单函数的极限。c二、填空题：1、设nER，0nxR，如果0x的任何邻域中都含有E的点，则称0x是E的聚点。2、设nER，若E是有界点集，则E至少有一个聚点。3、设fx是E上的可测函数，0mA，则fx是EA上的函数。4、设在E上，nfx依测度收敛于fx，则存在nfx的子列knfx，使得在E上，knfx敛于fx。5、设设1[1,2],(1,2,...)nAnn,则limnnA________________。6设P是Cantor集，[0,1]\GP，则mG___________。7、写出一个(0,1)与(,)之间一一对应关系式___________________。8.设2,,xexfxxx是有理数是无理数，则01()Lfxdx，。9、设E是[0,1][0,1]中有理数全体，则E的闭包E为_____________。10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。三、判断题。1、2R与3R的势是不等的。……………………()2、设mE，{()}nfx为E上一列.ae有限的可测函数，若在E上{()}nfx.ae收敛于.ae有限的可测函数()fx，则{()}nfx在E上依测度收敛于()fx。…………()3、若{()},1,lim()(),PpnnnfxLpfxfxL则lim0npnff。……………()4、设()fx在(0,)上R可积,则()fx在(0,)上必L可积。