实变函数期中试卷及答案

一、判断题1.有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√）2.可数集的交集必为可数集。（×）3.设，则()。（×）4.设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）5.开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）6.任意多个开集的并集仍为开集。（√）7.任意多个开集的交集仍为开集。（×）8.设，则。（×）9.设E为中的可数集，则。（√）10.设E为无限集，且，则E是可数集。（×）二、填空题1.设1nRR，1E是[0,1]上的全部有理点，则1E[0,1]；1E的内部空集；1E[0,1]。2.设2nRR，1E[0,1]，则1E[0,1]；1E的内部空集；1E[0,1]。3.设2nRR，1E22{(,)1}xyxy，则1E22{(,)1}xyxy；1E的内部1E；1E22{(,)1}xyxy。4.设P是Cantor集，则P为闭集；P为完全集；P没有内点；Pc；___0___。5.设(,)ab为1R上的开集G的构成区间，则(,)ab满足(,)abG，且aG，bG。三、证明题1.证明：()ABAB。证明：因为AAB，BAB，所以，()AAB，()BAB，从而()ABAB反之，对任意()xAB，即对任意(,)Bx，有(,)()((,))((,))BxABBxABxB为无限集，从而(,)BxA为无限集或(,)BxB为无限集至少有一个成立，即xA或xB，所以，xAB，()ABAB。综上所述，()ABAB。2.设()，()，n=1,2，…，求出集列的上限集和下限集。解：),0(limnnA；设),0(x，则存在N，使Nx时，因此Nn时，nx0，即nAx2，所以x属于下标比N大的一切偶数指标集，从而x属于无限多nA，得nnAxlim，又显然),0(limnnA，所以),0(limnnA。若有nnAxlim，则存在N，使对任意Nn，有nAx，因此若Nn12时，12nAx，即nx10，令n，得00x，此不可能，所以nnAlim。3.可数点集的外侧度为零。证明:设iiIUErrrE1321`````},,,{对)2,2(`````'```)2,2(,01111111nnnnnnnnnnxxxxxxI则2)2(222``````22||1112nnnnnnnI则)2(2||2222nnI)2(2||2nniiiI112||iiiiI||*1iiImfEm0*Em4.证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。证明：记A是不可数集，B是可数集，因为()()AABAB，且AB为无限集（因为，否则的话，A是至多可数集，与A是不可数集矛盾），AB为至多可数集（因为ABB，B是可数集，所以AB为至多可数集），所以，AAB，即AAB，所以，AB仍为不可数集