夏之舟致数学分析高等代数解析几何的新人们(数学分析篇)

作者:数学贝壳致数学分析、高等代数、解析几何的新人们各位2012级的新同学们：从9月10号起你们就正式进入大学数学的学习了。一开始你们就遇到了数学专业的三座大山：数学分析、高等代数、解析几何。数学分析不仅是分析学的基础，也是后续许多课程包括常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数等等的基石。而高等代数，则是代数学的引路，之后的抽象代数，矩阵论，群论，数值代数都是它的衍生品，你看似简单的解析几何，高等几何是之后微分几何，微分流形，代数几何的先修课，著名的华裔数学家丘成桐先生也因为在微分流形的杰出贡献被授予数学界的诺贝尔奖——沃尔夫数学终身成就奖。不知道大家在上了各门课的第一堂课后有什么样的感受？是一下子懵了，还是兴致勃勃？作为一个过来人，希望给大家一些经验，如何学好这些课，选择一些什么样的素材来补充自己。文章写的比较长，希望大家有耐心看完。我想会对你非常有帮助。数学分析篇一、一些还不错的教材直接进入主题——好的教材是相当重要的。所以让我们从教材开始。先说说国内。应当来说国内公认的比较好的数学分析教材一共有三套，这里只介绍两套。1.《数学分析》，华东师范大学数学系，高等教育出版社这套教材也是北科大数学系一直使用的课本（不过听说自2011级开始理科实验班换成了《数学分析》，李忠，高等教育出版社，个人对这套教材保留意见）。这本教材堪称数学分析的经典，如果我没有记错第一版发行于1978年，已经有四十多年的历史，现在最新的是第四版。这么长时间，经久不衰是其品质最好的检验。就难度而言，这本教材应该算中上。第三版第四版就知识结构来说没有什么大的变动，小的变动可以看书的第四版的前言。但是，在课后题，例题上有了较大的更新，丰富了题目的数量与质量（一些题都是吉米多维奇《数学分析习题集》里的题目，另一些题是一些高校的考研试题）。所以要学好数学分析，先必须搞懂课本知识，把每个题目做会了，做出感觉来，这样算进入成功入门的第一步了。2.《数学分析》，复旦大学陈纪修，高等教育出版社这本教材被总体上与华师大介绍的内容一样，但是在顺序上有所不同。除此之外比较明显的一点，加强了向量函数的概念，介绍了梯度散度这些在华师大的书里选学的内容。难度上来说两本书差不多。据说复旦大学数学系的同学就是用的这本书。这里值得一提的是，这两本书都以苏联数学教育家菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》为蓝本编写，很多地方都能看是援引那里的许多材料。（这里插一句废话，由于国情原因，应当说中国高等数学的教材（2000年以前的）基本上参考了苏联的数学知识体系，所以，在学习国内一些教材的时候，想挖掘的深入一些，可以看看一些选译的俄罗斯教材。因为俄罗斯的数学，特别是基础数学真的很强。）对于这部《微积分学教程》，我要念叨几句。第一，我们的老师，我们老师的老师，我们的老师的老师的老师，很多以前都读过这本书或者翻译过这本书，如果没有读过起码也是听过或者参考过部分章节。如果说华师大的《数学分析》是经典之作。那么这本《微积分教程》堪称划时代的巨著，数学的名著——里面例题材料之丰富，知识体系的构架的完整，我想迄今为止没有一部其他的分析书可以超越。尽管这本书写于上个世纪40时年代，站在现代数学分析的角度上，有很多理论已经是较为落后的，但是这本书仍然不失为一本名著。第二，这本书一共三卷，1700多页，高等教育出版社出版了中文版，目前更新到第八版，图书馆可以借阅。北京大学数学系的指定教材。所以如果各位学霸，以及真正想学好《数学分析》这门课的同学，如果你学有余力，可以阅读一下。我不建议所有人都看，因为这实在是一个巨大的工程，不少地方写的有点深，大家根据自己的兴趣来抉择。第三，正如刚刚所说，这本书的例子特别丰富，所以大家在第一节课上听到老师推荐的《吉米多维奇数学分析习题集》有近30%的题目取材于这本书。既然说到了俄罗斯。那就来说说国外的数学分析教材吧。首先，我要说不太赞成新人看国外的数学分析教材，即便是中译本。可能你会打听一些你高中时候比较牛的，考到比较牛的大学里的同学数学分析用什么教材。不否认有部分学校诸如浙江大学丘成桐班，北京大学元培实验班，清华大学基地班等等直接上国外的教材。但是那些同学是什么水平，你应该比我清楚。所以，我建议我们自己还是按部就班的来，其实我们的教材未必比那些学校的教材差。基础扎实了，后面学起来就轻松了。又扯远了。回到正题。为什么不推荐。理由有以下几个：第一，我刚刚提到过，我们的数学教材，不管是数分高代还是其他学科，基本上照搬了苏联那一套。但是现代数学分析（你应该知道现在的数学中心是美国吧），一些主流的欧美教材都是不太注重公理化体系的。他们一般都是站在现代分析的观念上去研究数学，他们的数分一开始讲的是拓扑，什么集合的性质，连通性，反正这些东西基本一看就晕了。就像HarvardUniversity著名数学家Rudin写过一本《数学分析原理》，真的很不错，但是可惜的是它除了讲了一些数分，还讲了一些实分析泛函的东西，如果大家一开始看这些，那就真的成天书了。国外教材中心专家推荐，这本书应该是高年级数学系学生看，比如你学完《数学分析》、《实变函数》去看这本书就为了求一些经典教材，追逐一流高校的教材，反而学不好，丧失了信心与兴趣。第二，我的一位导师跟我说，他认为数学课程的学习，有一本主要的教材，其他教材当作补充材料，课外阅读素材，先扎实基础，再拓宽知识面，才能学的好。但是怎么选择一本好的教材，我想我们用的《数学分析》教材绝对算的上是上乘的，所以建议大部分同学以这本书为中心，把课本每个知识点，定理，推论搞明白了，再把后面题目做会了，做出感觉了，你又何愁数分学不好呢？一开始定位的太高，只会摔得粉身碎骨。二、习题集1.《吉米多维奇数学分析习题集》我想几乎所有大学第一节《数学分析》课，老师都会给大家推荐这本盛行了几十年的《吉米多维奇数学分析习题集》，据说花了15年才写成了这本习题集。这本书目前官方授权高等教育出版社发行，似乎出到了2010年版，大题据说有4000多个，小题合计在一起大概在5500个。我听闻基本上是北大数学的学生都会做完这本书，这本书的重要性不言而喻。不过这里，笔者和曾经讲授《数学分析》的牛敏老师保持一致观点，这本习题集题目多，但是同一类型的题目也多，偏题怪题也多，个人并不是很推荐。市面上有很多《吉米多维奇习题集的解答》，以南京大学和山东大学的解答为主。2010年高等教育出版社出版了苏州大学谢惠民老师编写的《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》一共三本，个人觉得比市面上那些《吉米多维奇习题集的解答》好的多，一方面，它遴选了具有典型意义典型方法的题目讲解，在解答的时候经常一题多解；另一方面，它的着眼点不是告诉你不知是答案是什么，而力求告诉你怎么得到这个答案。编者是怎么分析这些题目，怎么思考的。正如我们所知道，在一开始，这些模仿很重要！等你累积了足够的经验，自己就能完整地挑战难题了。2.《数学分析习题课讲义》，谢惠民，高等教育出版社这本数学分析习题课讲义一共2本。是国家级数学分析精品教学团队苏州大学的习题课的讲义，这本书，除了印刷上的一些错误，个人认为可以称为国内目前数学分析最好的习题书。一方面，它有知识的归纳整理，以及一些定理的拓展和发散，加深了对知识的应用和理解；另一方面，它附有丰富的习题，一些来自于吉米多维奇习题集，一些来自于常规数学分析课后习题，一些来自考研题，一些来自数学竞赛题，一些来自数学分析一些理论的论文，理论与应用相得益彰。每节设有思考题和练习题，思考题多是对一些容易混淆的概念的辨别，数学分析中的一些反例。练习题由基础题和中等题组成（比我们的课后题难）。每章最后附有参考题，都是一些很难的竞赛题和考研题。那些对数分感兴趣的同学可以好好研究一下。当然最值得一提的是，这本书是没有答案的。所以可以彻底断了你看答案的念头。当然同时造成了不知道自己做的是错的还是对的问题，笔者一直在做这本书，有共同意向的同学可以联系我，我们可以交流。如果能把上面的题目做会了，理解了，吸收了，我想数学竞赛就算在清北北师大高手如云的北京赛区，拿一等奖也是可能的！北京大学等一线高校都选用这本书做习题课的指定用书。3.《数学分析解题指南》，林源渠，北京大学在北京大学的习题课里也会使用这本书。这本书是在北大前几年和周民强老师的《数学分析习题演练》《吉米多维奇习题集》都是北大数学分析习题课的用书。我不知道大家学了数分之后是不是觉得，数学的证明变得太机械化，不够富有技术含量。那么不得不说，这本《数学分析习题指南》里面的习题解答都有很强的技巧性，如果对解题技巧感兴趣的同学，相信会很喜欢这本书。这本书很多题都用巧妙的方法解答出来，短短几行完成了他人一页多的答案，颇为精彩。提一句，校内数学竞赛很多题目都出自这本书。4.《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文，高等教育出版社这本书俗称砖头书，跟一块砖头那么大。这本书按课本章节编写，对每一类问题——比如求数列极限，大概归纳了十几种方法然后每种方法对应例题。但是比较遗憾的是，这本书主要是写给考研或者数学竞赛的人看的，所以当初学者看的时候，很多提到的方法都要用到还没学到的知识，比较尴尬。但是这本书相当好，题目丰富且典型。关于习题集暂且就推荐这四本吧。三、关于怎么学习数学分析数学分析对大多数同学来说都是一种折磨，特别是到了第二、第三学期，后来就基本听不懂老师在讲什么东西了。原因很简单，因为前面没学好。你会发现数分和高代有那么点不同。数分是一环扣着一环的（高代比如线性变换和行列式，多项式还可以分割开来，当然在一些深入一些的高等代数书里，这些知识点之间都因为秩，多项式紧密相连）学完数列极限就是函数极限，极限完了是连续，连续完了就是导数，导数完了就是微分定理，然后微分完了就是积分了，先不定积分后定积分，最后反常积分。然后是级数，级数完了就跳到多元函数了，再讨论一遍极限，连续，导数，积分……所以数学分析只要一环出了错，你后面学起来就会很累。其实一开始所有人都是站在同一条起跑线上的。但是为什么后来出现了差异，那就是你后天努力的原因了。所以才有良好的开始，成功的一半。大一第一年基本奠定了你大学四年的风向标吧。好吧。扯远了。回到怎么学数分上来。首先，是说得人神共愤N+1次的预习，一定要预习。因为老师上课讲的比较快（记得最快时候会将20页）或者比较发散，你要是没有预习过，很多情况下就是听天书。大学和高中不一样，很多东西老师不讲，或者老师认为你自己应该学会，所以更多靠你自己学的。可能有人会问，我自己预习了都看懂了，还要听老师讲做什么。那些喜欢劝我们放下屠刀的禅师总会说“一千个读者心中有一千个哈姆雷特”。所以对知识的理解也一样。我们的很多老师都是很厉害的，你去听他的课不是去听你会的那80%，而是去听你不懂的20%，这样你才算没浪费时间，没浪费粮食，没浪费父母辛辛苦苦挣的血汗钱。正如你现在正在看我扯淡，但是我有扯，也有很多实质性的内容和信息，如果不是全文读完，不是认真看一遍，你怎么知道我哪里说的是废话，哪些是对你有用的？很多知识点站在另一个角度理解起来就不一样了。我曾经问过几个学弟学妹，比如我给你一道你认为极其简单的题目，比如求极限，你能不能一秒钟看出来？不能的话，说明你水平不够。再看书再做题。预习时候可以把不会的标注出来，上课时候要格外认真听，会的就当取检验老师有没有讲错，看看他的理解和你的理解有什么不同。接着说听课。听课这件事。就我个人而言，深有体会。在第一排听和在最后一排听基本是两个效果。各位看过最近人人网上传的那张教室QQ表情吗。其实坐在哪排一开始就决定了你学习的倾向，唯心主义的理论——意识决定物质：你有很强的学习欲望，强烈的上进心基本上不会坐在三排以后（新生刚来抢座位不算的话），反之吊儿郎当，对数学没兴趣，不想听课基本上也会有意识往后坐，然后就是补觉党，爪机党，好吧我无力吐槽了，不然我又要扯到哲学问题上去了。上课时候认真听讲是必要的，但是不是充分的。做笔记。这是男生的软肋。一般来说女生都会认真做听课笔记，男生觉得有时候老师PPT或者黑板上写的就是书上的内容，或者出的题目太简单了，不会不想不愿意做笔记。