多元函数的条件极值.

§4条件极值一、问题引入例1要设计一个容积为V的长方形无盖水箱,试问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到最小?若设长、宽、高各等于x,y,z,则2();Szxyxy目标函数:.xyzV约束条件:例2设曲线求此曲线上22,1.zxyxyz1212(,,,),(,,,)R;nnnyfxxxxxxD的点到原点距离之最大、最小值.对此问题有222;uxyz目标函数:22,1.zxyxyz约束条件:定义设目标函数为约束条件为如下一组方程:12(,,,)0,1,2,,().:knxxxkmmn为简便起见,记并设12(,,,),nPxxx{|,()0,1,2,,}.kPPDPkm00()(),(;)(),fPfPPUPP或0,0,P使得若存在0()fP()fP则称是在约束条件之下的极小值0P称是相应的极小值点二、拉格朗日乘数法先从n=2,m=1的最简情形说起,即设目标函数与约束条件分别为(,)(,)0.(1)zfxyxy与dd0,ddxxyxyyzyffffxx(,)0xy(),yyx若由确定了隐函数则使得目(,()).zfxyx标函数成为一元函数再由00000(,)(,()),Pxyxyx求出稳定点在此点处满足0()0.xyyxPffyxxyff记极值点必满足0xxf0yyf(,)0xy0L(,,)(,)(,),Lxyfxyxy在点处恰好满足:000(,,)xy(,)(,)0,(,)(,)0,(2)(,)0.xxxyyyLfxyxyLfxyxyLxy通过引入辅助函数把条件极值问题(1)(,,),Lxy转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.拉格朗日乘数法引入辅助函数12121(,,,)(,,,).(3)mnkknkfxxxxxx称此函数为拉格朗日函数,其中称12,,,m为拉格朗日乘数.kf与定理18.6设上述条件极值问题中的函数在区域D上有连续一阶偏导数.若(1,2,,)km1212(,,,,,,,)nmLxxx(0)(0)(0)012(,,,)nPxxxD的内点是该条件极值问题的极值点,且01111rank,nmmPnxxmxx(0)(0)(0)12(,,,,nxxx(0)(0)(0)12,,,)m(0)(0)(0)12,,,,m则存在m个常数使得个方程的解:为拉格朗日函数(3)的稳定点,即它是如下nm1120,1,2,,;(,,,)0,1,2,,.mkkkiiinkkLfinxxxLxxxkm当n=2,m=1时引入辅助函数(,,)(,)(,)Fxyfxyxy0F极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域内限制.对自变量除定义域内限制外,还有其它条件限制.例如,转化(,)0,(,)xyzfxy在条件下求函数的极值(,)0()xyyx从条件中解出(,())zfxx★求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点.先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为常数,可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,xy，方法2拉格朗日乘数法.推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.例如,求函数下的极值.(,,)(,,)0,(,,)0ufxyzxyzxyz在条件12(,,,)(,,)(,,)(,,)Fxyzfxyzxyzxyz设解方程组例1.求二元函数)4(),(2yxyxyxfz在直线6yx,x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解:①先求函数在D内的驻点，xyo6yxD如图,222(,)2(4)0(,)(4)0xyfxyxyxyxyfxyxxyxy得区域D内唯一驻点)1,2(,②再求),(yxf在D边界上的最值，ⅰ在边界0x和0y上,ⅱ在边界6yx上，)2)(6(),(2xxyxf,由02)6(42xxxfx,得4,021xx(2,1)4f且(,)0fxy由02)6(42xxxfx,得4,021xx,2|64xxy,64)2,4(f比较后可知4)1,2(f为最大值,64)2,4(f为最小值.解2用拉格朗日乘数法解2(,,)(4)(6)Fxyxyxyxy解方程组得：4,2xyxyo6yxD例2.求曲面与平面解：设为抛物面上任一点，则P22zxy的距离为220xyz问题归结为2(22)xyz约束条件:220xyz目标函数:222(,,)(22)()Fxyzxyzzxy设到平面之间的最短距离.令2(22)20yFxyzy2(22)(2)0zFxyz2(22)20xFxyzx22zxy111,,.448xyz得唯一驻点：746根据问题的实际意义,知例3.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件02zyyz02zxxz0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0xyzVyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一驻点,2230Vzyx3024V因此,当高为,340V所用材料最省.0VP169:1(1)(3)(,)(,)0,4.yzzzxyFFxx设函数由方程确定其中例为可微函数(),(),(),().AxBzCxDzB(10数学一,二)20,()zzFxyxy且则提示：(,,)(,),yzFxzxGyx设.yxzzGGzzxGyG则，GFuvxyxz12()()xxxyzGFFxx1()yyyGFx2()zzzGFx习题cos,sin5:,.,.uuzzxevyevzuvxy试求例设.zzuzvxuxvx.zzuzvyuyvy提示：zuvxyxy.uvvuxxzx.uvvuyyzycos0,,;,sin0uuxevuuvvxyxyyev由求1vuvvuvFFFxGuGGxxFG1sin10coscossinsincosuuuuuuevevevevevev23.,,6xtytzt在曲线的所有例切线中，24xyz与平面平行的切线()提示:由题设2(1,2,3)Ttt(1,2,1)nTn0Tn21430tt1211,3ttB解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z0cosd2sincos,tuxeuuytt7求曲线,例310tzet在处的切线和法平面的方程.(1,2,3)T切线方程：,322110zyx法平面方程：,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即(,)(0,0),(0,0)3(0,0)1,()xyfxyff设函数在附近有定义且和则有(0,0)()dddAzxy=3-；()(,)0,0,(0,0)(3,1,1);Bzfxyf曲面在点的一个法向量为(,)()0,0,(0,0)(3,0,1);0zfxyCfy曲线在点的一个切向量为(,)()0,0,(0,0)(1,0,3).0zfxyDfy曲线在点的一个切向量为(,)0,0(,)xxzfxyyyzfxy曲线的参数方程为：提示：T则一个切向量为0,0,(0,0)ddd(,,)dddfxyzxxx0,0,(0,0)=(1,0,(,))fxfxy=(1,0,3).D8:例选择题设函数与均可微且(,)fxy00(,)xy则下列结论正确的是()（A）若则00(,)0xfxy2006研(,)xy(,)0yxy已知是在约束条件下的一个极值点，(,)0xy00(,)0yfxy（B）若则00(,)0xfxy00(,)0yfxy（C）若则00(,)0xfxy00(,)0yfxy（D）若则00(,)0xfxy00(,)0yfxyD例9：提示：满足方程组yxxyffyxxyff222(10)210.10.xyyzxyz分求函数在约束条件下的最大值与最小值例5555.，结论：最大值最小值-(10数三)222(,,,)2(10)Fxyzxyyzxyz先构造函数：，22220,220,220,100.xyzFyxFxzyFyzxyz可由,,,xyz解出，(08数学二，四)22222(11)4.uxyzzxyxyz分求函数在约束条件和下的最大练：值与最小值习726.，结论：最大值最小值