第七章线性变换总结篇(高等代数)

第7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换，如果对V中任意的元素,和数域P中的任意数k，都有：，kk。注：V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别设为数域P上线性空间V的一个变换，那么：为V的线性变换klkl,,V,k,lP3.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，为V的线性变换，12s,,,,V。性质1.00,;性质2.若12s,,,线性相关，那么12s,,,也线性相关。性质3.设线性变换为单射，如果12s,,,线性无关，那么12s,,,也线性无关。注：设V是数域P上的线性空间，12,,,m，12,,,s是V中的两个向量组，如果：11111221221122221122ssssmmmmssccccccccc记：1121112222121212,,,,,,mmmsssmsccccccccc于是，若dimVn，12,,,n是V的一组基，是V的线性变换，12,,,m是V中任意一组向量，如果：11111221221122221122nnnnmmmmnnbbbbbbbbb记：1212,,,,mm那么：1121112222121212,,,,,,mmmnnnmnbbcbbcbbc设112111222212mmnnmnbbcbbcBbbc，12,,,m是矩阵B的列向量组，如果12,,,riii是12,,,m的一个极大线性无关组，那么12,riii就是12,m的一个极大线性无关组，因此向量组12,m的秩等于秩B。4.线性变换举例（1）设V是数域P上的任一线性空间。零变换：00,V；恒等变换：,V。幂零线性变换：设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使得m0，就称为幂零变换。幂等变换：设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2，就称为幂等变换。（2）nVP,任意取定数域P上的一个n级方阵A，令：111222nnnnxxxxxxA,Pxxx。（3）VPx，Dfxfx,fxPx。（4）nnVP，ijAa是V中一固定矩阵，nnXAX,XP。二．线性变换的运算、矩阵1.加法、乘法、数量乘法（1）定义：设V是数域P上的线性空间，,是V的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：对任意的V，任取kP，定义数量乘积k为：对任意的Vkk的负变换-为：对任意的V-=-则、、k与-都是V的线性变换。（2）LV={为V的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线性空间。2.线性变换的矩阵（1）定义：设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，12,,,n是V的一组基，如果：11111221221122221122nnnnnnnnnnaaaaaaaaa那么称矩阵112111222212nnnnnnaaaaaaAaaa为线性变换在基12,,,n下的矩阵。此时：121212,,,,,,,nnnA（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设12,,,n是数域P上的n维线性空间V的一组基，,LV，设它们在12,,,n下的矩阵分别为A,B。1）:nnfLVP，A是数域P上的线性空间LV到数域P上的线性空间nnP的同构映射，因此nnLVP。2）可逆A可逆3）①、与-在基12,,,n下的矩阵分别为AB,AB与A；②任取kP，k在基12,,,n下的矩阵为kA；③若为可逆线性变换，则1在基12,,,n下的矩阵为1A；④设1110mmmmfxaxaxaxa为数域P上的任一多项式，那么1110mmmmfaaaa（为V的恒等变换）在基12,,,n下的矩阵为：1110mmmmnfAaAaAaAaE。三．特征值、特征向量与对角矩阵1.矩阵的特征值与特征向量（1）矩阵的特征多项式：设A为n级复方阵，将多项式AnfEA称为A的特征多项式。注：1）若ijnnAa，则：1112211nnnAnnnfEAaaaA11tr1nnnAA2)将nEA称为矩阵A的特征矩阵，0nEA称为矩阵A的特征方程。（2）定义：n级方阵A的特征多项式AnfEA在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设0C是A的特征值，齐次线性方程组0nEAX的每个非零解都叫做矩阵A的属于其特征值0的特征向量。（3）求法：1）求AnfEA在复数域上的所有根12n,,,（重根按重数计算）；2）对1kk,n解齐次线性方程组0knEAX，得其一个基础解系12,,,,kkkkl（kln秩knEA），则矩阵A的属于特征值k的全部特征向量为1122,,kkkkkkklklsss，其中12,,,,kkkklsss为不全为零的任意常数（复数）。（4）重要结论：1）设0C是A的特征值，0X是A的属于其特征值0的特征向量，gx为一复系数多项式。①0g为gA的特征值，0X为gA的属于特征值0g的特征向量；②如果A还是可逆矩阵，那么01与0A分别为1A和A的特征值，0X为1A的属于特征值01的特征向量，0X为A的属于特征值0A的特征向量，③若12n,,,是矩阵A的全部特征值，那么12ng,g,,g就是gA的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则12111n,,,为1A的全部特征值，12nAAA,,,为A的全部特征值；2）若12n,,,是矩阵A的全部特征值，那么12trnA，12nA。2.线性变换的特征值与特征向量（1）定义：设是数域P上的线性空间V的线性变换，0P，若存在0V，使得0，就称0为的一个特征值，为的一个属于特征值0的特征向量。（2）线性变换的特征多项式设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基12,,,n，设在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式nEA为的特征多项式，记为nfEA，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3）求法：设是数域P上的n维线性空间V的线性变换。1）取定V的一组基12,,,n，求出在该基下的矩阵A；2）求nfEA在P中的所有根12m,,,（0mn，重根按重数计算，且0m表示无特征值）。3）若0m，对1kt,s解齐次线性方程组0knEAX，得其一个基础解系12,,,,kkkkl（kln秩knEA），则线性变换的属于特征值k的全部特征向量为121122,,,,,kknkkkkklklsss，其中12,,,,kkkklsss为P中不全为零的任意常数。3.矩阵相似（1）定义：设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵T，使得1TATB，就称矩阵A相似于矩阵B，记为AB。（2）性质：1）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C都是n级方阵，那么：①AA；②若AB，那么BA；③若AB且BC，则AC。2）若AB，那么AnBnfEAfEB，因此矩阵A与矩阵B有相同的特征值，相同的迹（trtrAB），相同的行列式（AB）。3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。（4）若1TATB，那么1kkBTAT,kZ。4.线性变换与矩阵可对角化（1）矩阵可对角化1）设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得1TAT为对角阵，则称A可对角化。2）n级方阵A可对角化A有n个线性无关特征向量。3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则A可对角化。4）设12k,,,是n级方阵A的所有不同的特征值，1212klllAnkfEA称12ili,,,k为i的代数重数；称isn秩12inEAi,,,k为i的几何重数；12iisli,,,k；n级方阵A可对角化对12i,,,k都有i的代数重数=i的几何重数。注：1.设齐次线性方程组0inEAX的解空间为iW，则dimiisW2.称iniVCA为n级方阵A的属于特征值i的特征子空间，那么dimiisV（2）线性变换可对角化1）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得在该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。2）数域P上的n维线性空间V的线性变换可对角化有n个线性无关特征向量。3）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果有n个不同的特征值，则可对角化。4）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，在V的一组基下的矩阵为A，设12k,,,是n级方阵A的所有不同的特征值。①若12k,,,P，那么：可对角化对12i,,,k都有i的代数重数=i的几何重数。②若12k,,,不全在数域P中，则不可对角化。注：i的几何重数=dimiV，其中iiVV为的属于特征值i的特征子空间。四．线性变换的值域与核1.定义：设是数域P上的线性空间V的线性变换，将100V，VV分别称为线性变换的核与值域（10与V也分别记为ker与Im）。2.线性变换的秩与零度：V与10都是V的子空间，将dimV与1dim0分别称为的秩和零度。3.有限维线性空间的线性变换的值域与核设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，12,,,n为V的一组基，在该基下的矩阵为A，r秩A，1122nnaaaV。1）1210naaa是齐次线性方程组0AX的解。2）若12,,,nr是0AX的一个基础解系，那么12,,,nr（其中12,,,1,2,,knkknr）就是10的一组基，于是：1dim0nr1121122120nrnrnrnrL,,,kkkk,k,,kP因