大学常微分方程习题试卷

一、选择1.方程22()30dydyxydxdx/(1)mdNNrNdtN/223sindydyxxyydxdx是（）（1）一阶线性的（2）二阶线性的（3）一阶非线性的（4）二阶非线性的2.方程2223tdxdxxedtdt的通解形如（）（A）312tttxcecete（B）312tttxceceate（C）312tttxceceae（D）312()tttxceceatbe方程2223tdxdxxedtdt的通解形如（）（A）312tttxcecete（B）31214tttxcecete（C）312tttxceceae（D）312()tttxceceatbe3.'()XAXft的满足初始条件0()t的解为（）（A）00exp[()]exp[()]()ttttAtsAfsds（B）0expexp()()ttAtAsfsds（C）0expexpexp()()ttAtAtAsfsds（D）0exp[()]expexp()()ttAAtAtftdt'()XAXft的满足初始条件(0)的解为（）（A）0expexp[()]()tAttsAfsds（B）0expexp()()tAtAsfsds（C）0expexp()()tAtAsfsds（D）expexpexp()()AtAtAtftdt二、填空1．如果方程(,,,,)0nndydyFxydxdx的左端为y及,,nndydydxdx的，则称此方程为n阶线性方程。2.曲线()yyx上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点平分，则曲线()yyx所满足的微分方程为。曲线()yyx上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方，则曲线()yyx所满足的微分方程为。3.求解logistic模型(1)mdNNrNdtN得人口规模随时间的演化规律为。4.方程(,)dyfxydx成为恰当方程的条件是。方程(,)(,)0MxydxNxydy成为恰当方程的条件是。5.连续可微函数(,)0xy成为非恰当方程(,)(,)0MxydxNxydy的积分因子的条件是6.非恰当方程(,)(,)0MxydxNxydy有只与y有关的积分因子的条件是;7方程(cossin)(sincos)0yxxxdxyxxxdy积分因子。22342(1)0yxdxxydy8.非恰当方程(,)(,)0MxydxNxydy有只与x有关的积分因子的条件是;方程(2)0yyedxxxyedy有积分因子。3222(2)()03yxyxydxxydy有积分因子。9.已知方程''()'()()xatxbtxft有解如：33ttete，2,ttete3ttteete，则其通解为已知方程''()'()()xatxbtxft有解如：3ttete，2,ttete332ttteete，则其通解为10.给定方程''5'6()xxxft，其中()ft在0t上连续，设12(),()tt是上述方程的两个解，则12lim[()()]ttt。给定方程''8'7()xxxft，其中()ft在0t上连续，设12(),()tt是上述方程的两个解，则12lim[()()]ttt。11.123A，则'XAX的一个基解矩阵为。11'01XX的一个基解矩阵为。21'14XX，则expAt=。12'43XX，则expAt=。三、解下列方程1．22(2)0yxydxxdy2.22xdyxeydxy3.22()20yxdxxydy4.232xdyyedxy四、Cauchy初值问题的解的存在唯一性定理对于Cauchy问题（1），(,)xyR，如果(,)fxy在R上且满足条件（即），令M，h，则Cauchy问题（1）在区间0||xxh上存在唯一连续解()yx。五、判断下列方程通解的类型，给出通解形式及可能的处理或求解方法，可不必完全求解。'''4''4'23sin2xxxtt；2'''4''4'23sin2txxxtet六、综合求解（1）证明1xt和2txe都是方程(1)'''0txtxx的解（2）用常数变易法求方程(1)'''1txtxxt的通解（1）证明1xt和2txe都是方程1'''011txxxtt的解（2）用常数变易法求方程1'''111txxxttt的通解七、求方程组的解1.求初值问题11',010teXX1(0)1X的解。2.已知21'02XX，求expAt,并求2210'02tXXe的满足初值条件1(0)1的解()t。