大学文科数学1-3

1-3函数1.3.1函数的概念1.3.2函数的运算1.3.3函数的改变量与差商1.3.4复合运算复合函数1.3.5函数的几种特性1.3.6函数模型1.函数概念因变量自变量)(xfy定义设数集，则称映射为定义D上的函数，通常简记为RDRDf:对每个,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).DxfR函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作或f(D),即}.),({)(DxxfyyDfRf1.3.1函数的概念fDDDf即D称为定义域,记作函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.fD如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数．．222ayx例如:21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程222ayx给出的对应法则中,附加“”的条件,0y就可得到一个单值分支.221xayy表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集}),(),({DxxfyyxP称为函数Dxxfy),(的图形.Doxy),(yxxyfR)(xfy中学已经学过的六类基本初等函数oxy)1,1(112xyxyxy1xy(1)幂函数Rxy(是常数)xayxay)1()1(a)1,0((2)指数函数)1,0(aaayxxey(3)对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1((4)三角函数xysin正弦函数xysinxycosxycos余弦函数正切函数xytanxytan(5)反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数常量函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数六类函数统称为基本初等函数.(6)常量函数y=c反函数的定义:设函数)(:DfDf是单射,则它存在逆函数,)(:1DDff称此映射1f为函数f的反函数.如:函数Rxxy,3是单射,其反函数为.,31Rxxy若函数f(x)在D上是单调函数,则1f也是f(D)上的单调函数.0x0yxyD)(yx反函数ofRfR0x0yxyDo)(xfy函数)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy相对于反函数),(1xfy原来的函数y=f(x)称为直接函数.记反函数).()(xxfy1常见的几种函数例5函数y=2它的定义域),,(D值域},2{fR它的图形是一条平行于x轴的直线.Oxyy=2例6函数0,,0,||xxxxxy定义域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).fR这个函数称为绝对值函数.Oxyxy1-1xyo010001sgnxxxxy当当当xxxsgn例7函数称为符号函数,定义域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.fR12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[x]表示不超过的最大整数x例8取整函数y=[x],如[-3.4]=-4,[－1]=－1,.075定义域D=(－∞,+∞),fR值域=Z.例9设A是一个数集，我们定义,,,,)(AxAxxA01称函数)(xA为数集A的特征函数，它的定义域为R，而值域由0,1两个数组成（图1-6）.Axy10A图1-6例10函数1,110,2)(xxxxxfy是一个分段函数.它的定义域D=[0,+∞).如:;221221],1,0[21f.431)3(),,1(3fxy1xy2yxO1例11试写出由方程)(0222aayx所确定的).(xyy解由方程222ayx……(1)解出y,得22xay或22xay……(2)因此，方程(1)确定了如式(2)所示的y为x的函数.此时，把用方程(1)所表示的y为x的函数称为隐函数；把(2)表示的y为x的函数称为显函数.一般地，当y是x的函数时，若由)(xfy表示，就称为显函数；若是由方程F(x,y)=0确定，则称为隐函数.1.3.2函数的运算1.3.2.1取绝对值运算.)(),(,)(),(时当时当00xfxfxfxfdef)(xf定义域D=R,值域=[0,+∞).例如函数0,,0,||xxxxxyfR这个函数称为绝对值函数.Oxyxy1.3.2.2取大（小）运算)(),(maxxgxfdef.)()(),()()(),(时当时，当xgxfxgxgxfxf类似地，可以定义取小运算min.例如21x,maxdef;,,1112xxx，21x,min;,,1112xxx，def设函数f(x),g(x)的定义域依次为,,,2121DDDDD则可以定义这两个函数的下列运算：和(差):gf;),()())((Dxxgxfxgf积:gf;),()())((Dxxgxfxgf商:gf.0)(\,)()()(xgxDxxgxfxgf1.3.2.3四则运算例13试求两个函数,)(xxf142xxg)(的和、差、积、商，并求f+g,f-g,f﹒g,gf的定义域.解和);()()())((412xxxgxfxgf);()()())((412xxxgxfxgf差);()()())((412xxxgxfxgf积因为f的定义域为],,(1g的定义域为R,所以f+g,f-g,f﹒g的定义域均为].,(1商gf.)()()(412xxxgxfx因为,)(042xxg.2x而],,(12x故gf的定义域为].,(),(1221.3.3函数的改变量与差商定义对于函数),(xfy当自变量x从0x变到1x时，相应地，函数值y从0y1y变到，则称01xx为变量x在点0x处的改变量，简称自变量的改变量，记为;x称01yy为函数)(xfy在点0y处相应的改变量，简称为函数的改变量，记为.y改变量也称为增量(或差分),称两个差分x与y之商xy为函数在点)(xf0x处的差商.差商的几何意义,01xxx).()(0101xfxfyyy由,xxx01可知).()(00xfxxfy差商可以表示为.)()(xxfxxfxy00函数的改变量y是曲线)(xf在点0x与xx0处的纵坐标之差.A、B两点的直线的斜率.函数的差商xy是曲线上0xy0xxx0)(0xfAByx)(xxf0设有两个映射,:,:21ZYfYXg其中.21YY则可以确定一个从X到Z的映射,称为复合映射,记作,gf即,:ZXgf注意:映射g和f构成复合映射的条件:.fgDRfggf两者也不同时有意义.并称“。”为函数的复合运算，称复合映射gf为x的复合，Xxxgfxgf,)())((函数，记为并称f为外函数，g为内函数.1.3.4复合运算复合函数例4设有映射],1,1[:Rg对每个,sin)(,xxgRx映射],1,0[]1,1[:f对每个.1)(],1,1[2uufu],1,0[:Rgf)(sin)())((,xfxgfxgfRx.cossin12xx返回注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,uy,cotvu.2xv,arcsinuy;22xu如:)]1,1[2,(2yDxuRx,2cotxy如:(1)函数的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX0x无界成立，则称函数f(x)在X上有界.否则称为无界.,,0,XxMDX若Mxf)((2)有界与否是和X有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:Xx1Mxf)(1使(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在1.3.5函数的几种特性有(2)函数的单调性:)(xfy)(1xf)(2xfxyoI及设函数f(x)的定义域为D,区间,DI),()(21xfxf1x如果对于区间I上任意两点,2x当时,恒有21xx则称函数f(x)在区间I上是单调增加的;)(xfy)(1xf)(2xfxyoI及设函数f(x)的定义域为D,区间,DI),()(21xfxf则称函数f(x)在区间I上是单调减少的;如果对于区间I上任意两点1x,2x21xx当时,恒有(3)函数的奇偶性:偶函数yx)(xf)(xfyox-x)(xf,Dx设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数y=cosx是偶函数.奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于,Dx有f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数y=sinx是奇函数.函数y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.证先分析如下:假若这样的g(x)、h(x)存在,使得)()()(xhxgxf(1)且).()(),()(xhxhxgxg于是有).()()()()(xhxgxhxgxf(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作.)()(21)(,)()(21)(xfxfxhxfxfxg则),()()(xfxhxg),()()(21)(xgxfxfxg),()()(21)(xhxfxfxh证毕.例12设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上)()()(xhxgxf的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得.(4)函数的周期性:2l2l23l23l函数sinx,cosx的周期是.2函数tanx的周期是.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.)()(xflxf一Dx有,)(Dlx且恒成立,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得对于任有理数点无理数点•1xyocQxQxxDy,0,1)(例13狄利克雷函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.