大学物理,第二章,质点动力学

第二章质点动力学1.伽利略的理想实验2.牛顿第一定律：①经典表述：任何物体都要保持静止或匀速直线运动的状态，直到其他物体作用的力迫使它改变这种状态为止。②现代表述：自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态。③惯性是物体的固有特性。一、牛顿第一定律（惯性定律）2-1牛顿运动定律①牛顿第一定律包含了力的定性定义：力是质点运动状态改变的原因。③合外力为零有两种含义：物体不受外力作用；物体虽受外力作用，但这些外力的矢量和为0。②运动状态是由速度来描述的，力是使物体产生加速度的原因。这为力的定量定义做好了准备。3.第一定律的意义：4.惯性系：①不与外界作用，完全孤立的粒子或系统。②使惯性定律严格成立的参考系。③凡相对于某一已知的惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。④物体惯性不仅表现在合外力为0、保持匀速运动状态和静止状态的性质上，还表现在受到外力作用时，物体运动状态改变的难易程度上。物体惯性越大，越难改变运动状态，获得的加速度就越小；牛顿第一定律为质量的科学定义也作好了准备。物体惯性大小用质量来量度。2.力的定义：二、牛顿第二定律()dpdmvFdtdt1.动量：pmv--牛顿第二定律(质点运动微分方程）dvFmmadt物体质量为常量时：vc3.分量式：xxxxdpdvFmmadtdtyyyydpdvFmmadtdtzzzzdpdvFmmadtdt直角坐标系自然坐标系dvFmamdt2nnvFmamr三、牛顿第三定律：21FFm1m2··F2F1*作用力与反作用力在同一直线上，大小相等、方向相反，分别作用在两个不同的物体上；*作用力与反作用力没有主从、先后之分，同时产生、同时存在、同时消失，并且性质相同；*作用力与反作用力仅描述两个物体间的相互作用，不涉及物体运动，对任何参考系都成立。习题牛顿运动定律的应用1.仅适用于惯性系；一、牛顿运动定律的适用范围：2.仅适用于低速物体；3.一般仅适用于宏观物体；4.仅适用于实物，不完全适用于场。二、牛顿运动定律的应用：1.动力学问题：受力情况运动情况2.基本步骤：隔离物体，分析受力情况；适当选择并建立坐标系（在惯性参考系上）；根据给出坐标列出方程；求解方程得出结果。例题1质量为m0的楔块A，置于光滑水平桌面上，质量为m的物体B沿楔的光滑斜面自由下滑，试求楔块A相对于地面的加速度及物体B相对楔块的加速度。AB0sinNma解：隔离两物体，分别受力分析，对楔块A0(cos)0FNmgsin(cos)BANmaacos(sin0)BANmgma联立解得02200()sincossin,sinsinBAmmmagagmmmmBmgNaB-AaA-地对物体B（）BABAaaa地地ABm0gNFaA-地例题2质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成正比，比例系数为k，求关闭发动机后（1）快艇速率随时间的变化规律；（2）快艇位置随时间的变化规律解：快艇受到的摩擦阻力为fkv由牛顿第二定律列出方程dvkvmdt00vtvdvkdtvm分离变量并积分可得0ktmvve0ktmdxvvedt对积分,得0(1)ktmmxvek例题3质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受的阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力。求:（1）子弹射入沙土后速度随时间的函数关系；（2）子弹进入沙土的最大深度。voxoyvo解：忽略子弹的重力,子弹将沿x轴运动，如图所示。dvfkvmdt00vtvdvkdtvm积分：0ktmvve得:0000ktmmaxmvxvdtvedtkOyxv0例题4一质量为m的质点t=0时自坐标原点以初速做平抛运动，运动中受到空气阻力，求：（1）t时刻质点的速度；（2）质点的运动方程。00vvifmkvamfgm解：任意时刻t，对质点m，有xxdvmkvmdt水平方向积分，得00()xtvxvxdvkdtv0ktxvve由0ktxdxvvedt000xtktdxvedt积分，得0(1)ktvxekyydvmgmkvmdt竖直方向积分，得00()/ytvyydvkdtvgk(1)ktygvek由(1)ktydygvedtk积分，得00(1)ytktgdyedtk2(1)ktggytekk例题5质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，经过最低点的速度为v0，绳长为l,不计空气阻力及轻绳的形变，求小球在任意位置（和竖直方向夹角为）的速率绳中张力。OmgTma解：任意位置小球m受力如图,有OTmg202(cos1)vvglsindvmgmamdt切向sindvdvdgdtddt即00(sin)vvvdvgdl积分20(3cos2)vTmggl法向2cosnvTmgmaml例题6图中AＢ为一固定于光滑水平桌面半圆形轨道，质量为m物块以从A点射入,它与轨道间摩擦系数为，求物块从Ｂ点滑出的速度。0vAB0v解:选取自然坐标,分析物块在水平面内的受力RvmNFn2NfdtdvmFAB0v即：2dvdvdsdvvvdtdsdtdsR00vRvdvdsvR积分：vfNevv0可得：例题7一长度为l，质量为m的绳索，一端系在轴上，另一端固结一质量为M的物体，它们在光滑水平面上以均匀的角速度转动，求:绳中距离轴心为r处的张力T。oMlm此题中绳的质量不能忽略，绳中各部分的速度、加速度都不相同，整个绳不能看成一个质点！在绳的不同位置处，张力也不会相同。解：取距轴心r处，长度为dr的一段质元，其质量为oMlmdrmdmdrldranTT+dTr设r处的张力为T，r+dr处的张力为T+dT；由牛顿定律2TTdTdmr2drdTmrl积分：2lTlTrdrdTmrl可得：lrlmlMT222222lTMl对绳子末端的小球：1.量纲正确2.特例:r=l时，T=M2l正确r0时，T=M2l+m2l/2(最大)讨论:1.相对于惯性系加速运动的参考系不是惯性系，而是非惯性系。2.在非惯性系中牛顿定律是不适用的。①惯性力不是实际存在的力，没有施力物体，只有受力物体。一、非惯性系2-2非惯性系与惯性力二、惯性力在非惯性系中，为使牛顿定律仍然适用而引入的假想力。Fma'②表达：*惯性力的方向与非惯性系加速度的方向相反。例题8质量为m的人静止在以加速度a匀加速上升的电梯中，求人对地板的压力。amgN()Fma()0NmgmaNmgma例题9在以加速度a加速上升的电梯中，一根轻绳跨过定滑轮，两端分别系有质量为m1和m2的物体,如图所示。假设绳不能伸长,与滑轮也无相对滑动，并忽略定滑轮的质量及摩擦。求：物体相对于电梯的加速度和绳的张力。m2m1am2m1a解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图对m2111'mgmaTma联立可得：对m1m2gTa’m2am1gTa’m1a222()'Tmgmama1212()()'mmgaamm12122()mmgaTmm例题10在以加速度a加速上升的电梯中，物体质量分别为mA和mB，不计滑轮质量，忽略桌面和轮轴摩擦，求：两物体的加速度和绳的张力。AmBm解：分别对物体进行受力分析对物体A'ATma对物体B'BBBmamgTmaaBmgTBmBmaAmgTNAmAma联立可得'()BABmagamm()ABABmmTgamm2-3动量定理与动量守恒定律一、冲量与动量1.定义：一段时间内力的冲量为F21ttIFdt*平均作用力：2121ttFdtFttFFtot2.动量：pmv*质点的动量：11nniiiiippmv*质点系的动量：二、动量定理*微分形式：22112121tptpFdtdpppmvmv()Fdtdpdmv或：*积分形式：()dpdmvFdtdt1.单个质点的动量定理：2121txxxxtIFdtmvmv2121tyyyytIFdtmvmv2121tzzzztIFdtmvmvIp*动量定理的冲量表示：22112121tptpFdtdpppmvmv例题11长度为L的匀质柔绳,单位长度的质量为λ,上端悬挂,下端刚好和地面接触,现令绳自由下落,求当绳落到地上的长度为l时绳作用于地面的力。yL-lLyL-lL解：取竖直向下为正，当绳下落长度l时2vgl在其后的一小段时间dt内,对的绳子,忽略重力作用，由动量定理可知dmdlvdt0Fdtdmv22gdmFvvldt'()3gNmdmgFl例题12有一条单位长度质量为λ的匀质柔绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上端悬挂，试求（1）若以恒定的加速度a向上提起，当提起的高度为y时作用于绳端的力；（2）若以恒定的速度v向上提起，当提起的高度为y时作用于绳端的力。Fya解:(1)取竖直向上为正，当绳加速上升高度y时2vay其后一小段时间dt内,被提起的绳子将增加，由动量定理dmdyvdt2Fygya12g3FFFyyaFya10Fdtdmv212dmFvvaydt已提起的绳子：21dmFvvdt2gFyvFyv(2)当绳匀速上升高度y时，其后一小段时间dt内,被提起的绳子将增加，由动量定理dmdyvdtmy二、质点系动量定理*质点系：有相互作用的若干物体组成的整体。*系统和外界m12F21F1Fm212F1.质点系：*内力和外力对质点m222122()()FFdtdmv对整个系统:iiPp对质点系中的质点m111211()()FFdtdmv2.质点系动量定理：m12F21F1Fm212F()(iijiiijidpdpFFdt外）iidpFdtFdt外外0ijijiF对内力：可见：只有外力的冲量改变质点系的动量；系统内各质点间相互作用内力的冲量对系统的总动量变化没有贡献，但可以改变某一质点的动量，实现动量在系统内部质点间传递。m12F21F1Fm212F--微分形式()(iijiiijidpdpFFdt外）00tiiiitiiFdtmvmv外0iiIpp或：--积分形式iidpFdtFdt外外--微分形式三、质点系动量守恒定律对质点系统而言，外力的矢量和为0时，该系统的总动量守恒。0iiFF外外iiimv常矢量()0iiidmv即：iidpFdtFdt外外分量式：0,xixxixiiFFpp则常量0,yiyyiyiiFFpp则常量0,zizziziiFFpp则常量*当时,质点所受的有限外力可忽略不计，质点系的动量守恒。FF外内基本步骤：分析受力情况，求出合外力；建立坐标系，确定系统的初末状态的动量（在惯性参考系上）；根据动量定理或动量守恒定律列方程并求解。确定研究对象（系统）；例题13一长为l的质量为的m小车，静止在光滑的水平路轨上，今有一质量为M的人从小车的一头走向另一头。求人和小车相对于地面的位移。解：人和小车组成的系统在水平方向不受力，系统动量守恒。对地面参考系，任意时刻有0(')mvMv两边对时间积分0'mvdtMvdt0'msMs即：且有'ssl联立可得,'MmslslmMmMF1.恒力的功mr①功是标量，定义为cosAFrFr0,02A,02A②单