大学物理实验-误差理论分析2014年2月.

第一章测量误差及数据处理方法§1.1测量与误差关系§1.2测量结果误差估算及评定方法§1.3直接测量结果误差估算及评定方法§1.4间接测量结果误差估算及评定方法§1.5有效数字及其运算§1.6常用数据处理方法按测量方法不同可分直接测量间接测量测量：用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。一、测量（测量是物理实验的基础）§1.1测量与误差关系直接测量--指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；间接测量--指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量二、误差2、误差来源（1）仪器误差：任何仪器都存在误差（2）环境误差：温度、气流、外界电磁场……（3）测量方法误差：测量方法本身依据的理论不完善（4）人员误差：操作者主观因素和操作技巧真测NNN1、误差的定义测量误差=测量值-真值N真是客观存在的但无法测量到，因为测量与误差是形影不离的。反映的是测量值偏离真实值的大小和方向。注意有正、负之分。（单位）§1.1测量与误差关系§1.1测量与误差关系3、误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）（1）系统误差—同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量特点：确定性产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完备、测量者的不良习惯等。分类及处理方法：1）已定系统误差：必须修正（电表、螺旋测微计的零位误差；）2）未定系统误差：要估计出分布范围（大致与B类不确定度B相当）如：螺旋测微计制造时的螺纹公差等（2）随机误差—同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量特点:(a)测量次数大多情况下随机误差没有规律;(b)大量测量时随机误差服从统计规律。产生原因：测量仪器、环境条件、测量人员等。§1.1测量与误差关系3、误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）举例：电表轴承的摩擦力变动、螺旋测微计测力在一定范围内随机变化、实验条件和环境因素无规则的起伏变化，引起测量值围绕真值发生涨落的变化，操作读数时的视差影响。（2）随机误差§1.1测量与误差关系3、误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）NNNNP正态分布特点：（1）绝对值小的误差出现的概率大（单峰性）（2）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，所以用多次测量取平均的方法可以减小随机误差（对称性）（3）绝对值很大的误差出现的概率趋于零（有界性）曲线下面积为1，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。（很多服从正态分布）§1.1测量与误差关系3、误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）（3）粗大误差—明显超出规定条件下预期的误差特点：可以避免，处理数据时应将其剔除。产生原因：测量中的疏忽或其它种种原因。例如，突然的振动，短时间的强风，偶尔记录错误。真测NNN（1）绝对误差：反映误差本身大小。%100NNN%100NNE真真测真（2）相对误差（百分误差）：反映误差严重程度。NNN测真结果表示：%100NNE真（单位）§1.1测量与误差关系4、测量结果表示问:有了绝对误差，为什么还要引入相对误差呢？答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但它不能反映误差的严重程度。2m20m例:两个绝对误差如下，哪个大,哪个严重？我们不知道它们是在什么测量中产生的，所以难以回答。§1.1测量与误差关系§1.1测量与误差关系注意：绝对误差大的，相对误差不一定大绝对误差与相对误差之间没有必然联系100米跑道地月2m20m§1.1测量与误差关系5、精密度、正确度与准确度（又称精确度）精密度—反映随机误差（测量值离散程度）正确度—反映系统误差（测量值偏离真值程度）准确度—反映综合误差正确度较高、精密度低精密度高、正确度低准确度(精确度)高(a)(c)(b)kiikiNKNNNNKN12111§1.2测量结果误差估算及评定方法由于真值客观存在但不可测，一般用公认值或多次测量的算术平均值作为真值的最佳估计。即：对N进行K次测量，得N1，N2……Nk，则评定其可靠性（可信度如何）的方法有三种。它们是：算术平均偏差δ、标准偏差σ、不确定度μ1．算术平均偏差NNNNNNNNKki211KiiNNK11结果可表示为：N（单位）其中：Ni-N为残差特点：简单；缺点：大偏差得不到应有反映。§1.2测量结果误差估算及评定方法（2）平均值的标准偏差（在同一条件下对某物理量进行多次测量）KNN112KNNNKii（1）测量列的实验标准差2．标准偏差（反映平均值代替真值的精密度）m个K次平行测定的平均值：由统计学可得：mNNNN,,,321NNK§1.2测量结果误差估算及评定方法标准偏差σ是一个描述测量结果离散程度的参量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。理解：若随机误差服从正态分布，在距平均值σ处，是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1，σ越小，曲线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。§1.2测量结果误差估算及评定方法置信概率（包含真值的概率）范围N—N68.3%2N—2N95.4%3N—3N99.7%1N1N2N2NNNpNNA类分量（用统计方法计算）uA：KuinsjB类分量（用其他方法计算）uB：2j22j22B2Au)N(u)N(uuu或合成不确定度3．不确定度（反映平均值代替真值的准确度）Δins为仪器的极限误差；K为置信系数。uN测量结果表示为：%100NuE相对不确定度：（单位）§1.2测量结果误差估算及评定方法§1.2测量结果误差估算及评定方法约定：在我们的实验中不确定度取1位有效数字；相对不确定度取1-2位有效数字uNN真注意：的末位和u对齐。N完整的测量结果应表示为：)1910(＝R以电阻测量为例测量对象测量对象的量值不确定度单位§1.11.2小结§1.1测量与误差关系§1.2测量结果误差估算及评定方法•测量的定义、分类（直接测量、间接测量）•误差的定义、来源•误差的分类（系统误差、随机误差、粗大误差）•绝对误差、相对误差•精密度、正确度、准确度•算术平均偏差•标准偏差•不确定度%Nm仪器精度级别量程数§1.3直接测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定单次测量结果的误差估算常以测量仪器误差来评定。仪器误差：△已标明（或可明确知道）的误差△未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作误差。△电学仪器根据仪器的精度来考虑如电表：例:如用一个精度为0.5级，量程为10μA的电流表，单次测量某一电流值为2.00μA，试用不确定度表示测量结果。解：不确定度u=10μA×0．5％=0．05μA结果表示I=（2．00±0．05）μA§1.3直接测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定%Nm仪器精度级别量程数§1.3直接测量误差估算及评定二、多次测量结果的误差估算及评定程序由于测量中真值虽然客观存在但不可测，多次测量中以算术平均值代替，作为测量结果。uNNN评定程序：1.求多次测量的平均值2.计算或或u3.测量结果表示（如用不确定度u，则结果为）u的利弊——计算方便但准确度低——只考虑了随机误差，只反映了精密度u——既含随机误差又含系统误差，且准确度高uNN22insNu今后我们约定结果写成：式中这种表示方法的置信概率大约为95%左右§1.3直接测量误差估算及评定二、多次测量结果的误差估算及评定程序例：见课本P21页zzfyyfxxfN绝对误差zzfyyfxxfNNlnlnln相对误差一、一般的误差传递公式当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),先计算绝对误差较方便当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),先计算相对误差较方便§1.4间接测量结果误差的估算及评定N=f(x,y,z)假设间接测量值N与直接测量值x,y,z的函数关系为：222222)()()(zyxNzfyfxf222222)ln()ln()ln(zyxNzfyfxfN二、标准偏差的传递公式§1.4间接测量结果误差的估算及评定三、不确定度的传递公式222222)()()(zyxNuzfuyfuxfu222222)ln()ln()ln(zyxNuzfuyfuxfNu不确定度相对不确定度§1.4间接测量结果误差的估算及评定yxN22yxNuuuyxN22yxNuuuyxN22)()(yuxuNuyxNyxN22)()(yuxuNuyxNkxNxNukuxuNuxNxNsinxNuxucosxNlnxuuxNLmkzyxN222222)()()(zuLyumxukNuzyxN函数形式不确定度传递公式表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式[总结]间接测量结果用不确定度评定的基本步骤：（1）计算各直接测量的最佳值和它们的不确定度；（2）根据公式计算间接测量量的不确定度（保留1位有效数字），或相对不确定度（保留1~2位有效数字）；（3）求出间接测量值N，N的末位与不确定度所在位对齐；（4）写出结果注意单位不要漏写NuN§1.4间接测量结果误差的估算及评定例:用一级千分尺（）测量某圆柱体的直径D和高度H，测量数据如下，求体积V并用不确定度评定测量结果。mmins004.0§1.4间接测量结果误差的估算及评定测量次数D/mmH/mm13.0044.09623.0024.09433.0064.09243.0004.09653.0064.09663.0004.09473.0064.09483.0044.09893.0004.094103.0004.096解：（1）计算直接测量值D、H的不确定度3.00283.003DmmmmmmH095.4（a）求多次测量的平均值mmD0027.0mmH0017.0DH求和（b）A类不确定度—mmuinsj004.0（c）B类不确定度112KNNNKii§1.4间接测量结果误差的估算及评定329.00.1VVumm（3）写出结果（d）计算UD和UHmmuDujD005.0)(22mmuHujH004.0)(22HDVlnln2)4/ln(ln32004.294mmHDV0035.012lnln22222222HDHDVuuHuDuHVuDVVuE31.00035.0*004.29mmVEuuV（2）计算间接测量值V和及其不确定度Uv§1.4间接测量结果误差的估算及评定例2:P25-26例5、例6、例7举例：1.25（3位有效数字）1.250（4位有效数字）0.0125（3位有效数字）1.0025（5位有效数字）§1.5有效数字及其运算一、什么叫有效数字有效数字一般由若干位准确数字和一位可疑数字（欠准数字）构成。§1.5有效数字及其运算注意：（1）同一物体用不同精度的仪器测量，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效数字的位数越多如：最小分度被测量长有效数字位数米尺1mm120.6mm4游标卡尺0.02mm120.60mm5螺旋测微器0.01mm120.600mm6（2）有效位数与十进制单位的变换无关如：12.06cm=0.1206m=0.0001206km有效位数都是4位§1.5有效数字及其运算注意：（3）表示小数点位数的“0”不是有效数字；数字中间的“0”和数字尾部的“0”都是有效数字；数据尾部的“0”不能随意舍掉，也不能随意加上。410110nKKnZ（）推荐用科学记数法，；在十进制单位变换时，K不变，只改变n如：