大学物理马文蔚第五版气体动理论

195第9章气体动理论学习指导一、基本要求1．理解平衡状态和状态参量，掌握理想气体状态方程并能熟练运用。2．理解理想气体压强和温度的统计意义，掌握理想气体的压强公式和温度公式。3．理解能量按自由度均分定理，掌握理想气体内能和内能变化的计算公式。4．理解麦克斯韦速率分布律，能熟练计算气体分子热运动的三种速率。5．了解玻尔兹曼分布律和重力场中粒子按高度的分布。6．理解分子的平均碰撞次数和平均自由程的概念，会进行有关计算。7．了解气体的迁移现象；了解实际气体的范氏方程。二、知识框架气体动理论气体分子热运动的基本特征：分子本身线度很小1010dm分子数很多2510n个/m3平均速率很大210vm/s平均碰撞频率1010z次/s真实气体理想气体1mol范德瓦耳斯方程:RTbVVap))((2非平衡态平衡态粘滞现象、热传导、扩散状态方程nkTpRTMmpV压强公式22312kkpnmv温度公式23212kkkTmv能量均分定理①每个自由度的能量为2kT②分子平均平动动能为23kTk③分子平均动能为2ikT④理想气体内能TRiMmERTiMmE22①麦氏速率分布律23222d()d()4()2mkTNfNmfkTevvvvv②三种速率21.411.601.73pRTMRTMRTMvvv③玻耳兹曼分布zyxenNkTEp0平均碰撞规律①平均碰撞频率22zdnv②平均自由程22122zdnkTdpv196三、重点和难点1．重点（1）掌握理想气体状态方程及其应用。（2）掌握平衡态下理想气体压强公式和温度公式及其计算。（3）理解能量按自由度均分原理和三种速率有关计算及其应用，平均碰撞次数、平均自由程计算。2．难点（1）用统计平均的观点进行压强公式的推导和应用。（2）掌握能量按自由度均分定理，区别分子平均平动动能、分子平均转动动能、分子平均动能和气体内能；掌握麦克斯韦速率分布律的统计应用和运算。四、基本概念及规律1.理想气体状态方程mpVRTM及pnkT2.理想气体压强公式22211212()33323kpnmnmnvvv3.理想气体的温度公式及温度的统计意义32kkT气体的温度是气体分子平均平动动能的量度。4．能量按自由度均分定理平衡状态下气体分子每个自由度的平均动能都等于kT21，如果气体分子有i个自由度，则每个分子的总平均动能就是kTi2。5．理想气体的内能及内能变化RTiMmE2TRiMmE26．麦克斯韦速率分布律理想气体在平衡状态下，分子速率在vvvd~区间内的分子数Nd占总分子数N的比率，服从麦克斯韦速率分布律vvfNNd)(d式中)(vf为速率分布函数23222()42mkTmfekTvvv)(vf满足归一条件1d)(0vvf7．气体分子热运动的三种速率（1）最概然速率22pkTRTmMv（2）平均速率19788kTRTmMv（3）方均根速率233kTRTmMv*8．气体分子在重力场中按高度分布的分子数密度和压强00mgzkTmgzkTnneppe9．平均碰撞次数和平均自由程222222=122dpZdnkTkTdndpvv*10．气体的迁移现象（1）粘滞现象fsxv（2）热传导现象sxTktQ（3）扩散现象sxDtm其中，13v，.13VmCkMv，13Dv。*11．1mol实际气体的范德瓦耳斯方程RTbVVap))((2五、解题指导及解题示例本章习题花样繁多、零散，没有明显的类别划分，现择重举例如下：例9-1容积为11.2×10-3m3的真空系统已被抽到1.0×10-5mmHg的真空。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体分子，若烘烤后压强增为1.0×10-2mmHg，问器壁释放出的分子数？解由理想气体的状态方程pnkT，得()npkT烘烤前、后真空系统单位体积内的分子数分别为111()npkT，222()npkT所以器壁释放出的分子数为198212121ppNnnVVkTkT由于21pp，故有2211pTpT，因此1822()1.910NpVkT个简注本题是理想气体的状态方程的应用问题。通过本题可以了解抽真空的一些具体情况。烘烤前吸附在器壁上的分子由于动能小，不能摆脱器壁上的束缚。当烘烤后，温度升高，一部分吸附在器壁上的分子有足够的动能摆脱器壁的束缚，使容器中的数密度增大。所以温度升高和分子数密度增大是容器内压强上升的原因。例9-2一容器内装有某种理想气体，其温度为T=273K，压强为p=1.0×10-2atm，其密度为1.25×10-2kg/m3。试求（1）气体分子的方均根速率；（2）气体的摩尔质量，并确定它是什么气体；（3）气体分子的平均平动动能﹑转动动能各为多少；（4）容器单位体积内分子的总平均动能是多少？（5）若该气体有0.3mol，内能是多少？解（1）由方均根速率公式得2333493m/sMpVRTpmMMv（2）气体的摩尔质量mRTRTMVppkg/mol108.22由以上结果可知，这是双原子分子气体N2。（3）气体分子是双原子分子，有3个平动自由度，2个转动自由度。由平均平动动能和转动动能公式得2135.6510J2kT平J1077.32221kT转（4）单位体积内气体分子的总平均动能为3552.5310J22kpnkTpkT（5）气体的总自由度i=5，由理想气体的内能公式得J107.123RTiMmE简注本题为分子动理论中一些常用公式的直接应用，读者应熟悉这些公式，并会进行有关计算。注意掌握好气体分子自由度的概念。例9-3试指出下列各式所表示的物理意义（1）()dfvv；（2）()dNfvv；（3）()dnfvv；（4）21()dfvvvv；（5）21()dNfvvvv；（6）0()dfvvv；（7）20()dfvvv；（8）212()dfvvvvv199解以上各式都是与麦克斯韦速率分布函数有关的表达式。其中：（1）()ddfNNvv，表示理想气体在平衡状态下，处于速率间隔v—v+dv内的分子数与总分子数的比率（分布几率）。（2）()ddNfNvv，表示理想气体在平衡状态下，处于速率间隔v—v+dv内的分子数。（3）()ddnfNVvv，表示理想气体在平衡状态下，处于速率间隔v—v+dv内的单位体积分子数。（4）2211()ddfNNvvvvvv，表示理想气体在平衡状态下，处于速率间隔v1—v2内的分子数与总分子数的比率（分布几率）。（5）2211()ddNfNvvvvvv，表示理想气体在平衡状态下，处于速率间隔v1—v2内的分子数。（6）00()ddfvNNvvv，表示理想气体在平衡状态下，大量分子热运动速率的算术平均速率。（7）2200()ddfvNNvvv，表示理想气体在平衡状态下，大量分子热运动的速率平方的平均值（再开方即为方均根速率）。（8）221122()ddfvNNvvvvvvv，表示理想气体在平衡状态下，处于速率间隔v1—v2内的分子对速率平方平均值的贡献。简注通过本题可以使读者加深对麦克斯韦速率分布函数()fv物理意义的理解。例9-4假想的气体分子，其速率分布如图9-1所示，当v5v0时分子数为零。试求：（1）根据N和v0，表示常数a的值；（2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数；（3）分子的平均速率。解（1）根据速率分布曲线，速率分布可表示为0avv，00vva2，002vvva3，0023vvva2，0034vvv005avvv，0045vvv0，05vv归一化条件，有0()dNfNvv()Nfv=图9-13a2aa0v02v03v04v05v0vNf（v）20000000000023450023400d2d3d2d5dvvaaaaaNvvvvvvvvvvvvvvvvv由此式可解得0(8)aNv（2）速率分布在02v到03v间隔内的分子数N为000033022()d3d33/8NNfaaNvvvvvvvvv（3）分子的平均速率001()d()dfNfNvvvvvvv0000000002345200234001[d2d3d2d5d]vvaaaaaNvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv22222200000001156145[37]83232vvvvvvv052v简注本题的目的在于加深对速率分布函数)(vf物理意义的理解。读者可思考求解002vvv区域中的平均速率v与在整个区域中v求的差别。例9-5利用麦克斯韦速率分布律23222d4d2mkTmNNevkTvv求证（1）分子的平均平动动能3/2kT；（2）分子的最概然平动动能2/kTp。证明本题首先要将麦克斯韦速率分布律表达式写成能量分布定律。因为分子的平动动能2/2mv，于是有22mv①对上式取微分得2d2dmvv12d1d(2)dmmvv②将①式、②式代入23222d4πd2πmkTmNNevkTvv得d)2(2π2π4d2123mmεekTmNNkT整理得3212d2dkTNNkTe（1）根据统计公式可得分子的平均平动动能平为321200112ddπkTNNkTeNN平20102323dπ2kTekT利用积分公式：25022324/3dxexx，可得325223/43/2(1)πkTkTkT平即证得分子的平均平动动能：3/2kT平。（2）由前所述可得能量分布函数kTekTf21232)(若要使分子的平动动能为最概然平动动能，必须f具有最大值，即0121π2212123pkTkTekTekT解得2/kTp所以分子的最概然平动动能为：2/kT简注本题给出了由麦克斯韦速率分布函数求解分子有关物理量的平均值的方法。如本例中给出了求解平均平动动能的方法。通过求得的最概然平动动能2/kTp与最概然速率所对应的平动动能22()/2/2ppkTmmkTmvv对比，两者不是一回事。p与()pv不相等的原因在于两种统计间隔之间的变换是非线性的，即d2dmv。例9-6试求温度为T分子质量为m的气体中分子速率倒数的平均值(1)v，它是否等于1v？解由统计公式：()dxxfxx，得23220011()()d4πd2πmkTmfekTvvvvvvv2322204π()d()2π2mkTmkTmekTmkTvv2π441π8ππmmkTkTv可见(1)1vv。等温