大学课程初等数学研究教案

1教案2014-2015学年第一学期课程名称：初等数学应用专业年级：初等教育2013级任课教师：王剑教师所在单位：教育系2《初等数学研究》教案-------------------------------------------------------------------------------------课程简介《初等数学研究》是初等教育专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。《初等数学研究》包括《初等代数研究》和《初等几何研究》两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。3《初等数学研究》教案-------------------------------------------------------------------------------------教学大纲一、课程目标和教学要求1、基本课程目标本课程的教学要求分为了解、理解、掌握、运用四个层次。这四个层次的一般涵义表述如下：了解——是指对本课程中的基本概念和原理的认知。理解——是指对本课程涉及到的概念、定理、法则等的意义的解释。掌握——是指运用已理解的概念、定理、法则等去解决新的数学问题。运用——是指会用重要的思想和方法去研究、分析、解决初等数学中的问题，形成较强的分析问题和解决问题的能力。2、基本内容和教学要求第一部分初等代数（一）数系教学内容：集合的相关概念、数的概念的扩展、自然数集、整数环、有理数域、近似计算、实数域、复数域教学要求：了解各个数系的构成与扩展，数的运算和数的性质，以及近似计算方法（二）解析式教学内容：解析式概念及其分类、多项式、分式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式教学要求：理解解析式、多项式、分式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式的概念及性质；熟练地掌握解析式的运算和恒等变形（三）初等函数教学内容：函数概念、用初等方法讨论函数、基本初等函数教学要求：理解函数的定义方法；掌握求函数的定义域、值域、函数关系的方法；掌握函数的四个性质（奇偶性、单调性、有界性、周期性）；掌握常见基本初等函数的图形特征（四）方程和不等式教学内容：方程与方程的同解性、几种特殊类型的代数方程的解法、初等超越方程、方程组；不等式及其性质、证明不等式的常用方法、几个著名的不等式、解不等式(组)、不等式的应用教学要求：理解方程（组）的同解性理论；掌握一些特殊方程的解法。理解不等式的概念及有关性质；掌握证明不等式的常用方法；会解不等式（组）（五）排列与组合教学内容：加法原理与乘法原理、排列、组合教学要求：理解加法原理与乘法原理，会求排列数和组合数第二部分初等几何（一）公理化方法与图形的演绎推理4教学内容：公理化方法的发展、数学推理和数学证明的方法及其作用教学要求：理解数学中的公理化方法，透彻把握欧几里的公理体系，希尔伯特公理体及其区别掌握数学推理和数学证明的方法（二）几何变换教学内容：变换、变换群以及几何变换的概念，在变换群概念的基础上，分别讨论几种变换及相应的几何学教学要求：掌握变换群的概念，能利用变换解决几何问题，了解应用几何变换的观点、思想与方法处理中学几何是当今数学课程改革的一个思路。（三）几何的向量结构及坐标法教学内容：平面与空间向量的三种运算，并讨论向量与坐标系的关系，向量方法在数学中的各种运用。教学要求：掌握向量的概念、运算及其基本定理，并能在解题中灵活的加以运用，对处理数学课程改革提供一种思路二、课程实施（一）课时安排初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第八学期开设，安排3/周，有条件时可安排18周,共72课时。具体安排如下：内容课时建议（一）数系14学时（二）解析式8学时（三）初等函数8学时（四）方程、不等式10学时（五）公理化方法与演绎推理8学时（六）几何变换8学时（七）几何的向量结构及坐标法8学时（八）排列、组合8学时（二）教学组织形式与教学方法要求本课程以教师课堂讲授为主，并根据具体内容适当采取多媒体、自学和课堂讨论等形式组织教学。重点突出中学数学内容在现代数学理论中的地位，解决学生不会主动地、有意识地从较高观点研究中学数学的难点。提倡和鼓励学生进行专题研究。1.教学班是主要的教学组织，班级授课制是目前教学的主要组织形式。2.注意教学方法的灵活性，组织学生课前阅读、课堂表述自己的理解和看法，培养学生发现问题、5分析问题、解决问题的能力和探究意识。3.充分发挥学生的主动性，可适当安排一些讨论课。4.评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情。三、教材选用与教学评价在课程标准的统一要求下，实行多样化，可选用高等教育出版社（普通高校重点教材）的相应教材，也可选用地方特色的教材，还可自编教材。评价依据是本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。该门课程采用期末集中考试的形式进行，具体考试说明如下：1)考试时间：120分钟。2)考试方式、分制与分数解释采用闭卷、笔试的方式，以百分制评分，60分为及格，满分为100分。如果有可能的话，把形成性评价与终结性评价结合起来。3)题型及比例填空题20%；分析解答题40%；证明题40%；4）样题与目标定位示例：A．填空题：（着重考查学生对基本理论的理解掌握程度）例：①自然数的序数理论是以_______________为基本概念建立起来的，它着重反映_____问题。②实数集的主要性质有____________________________。B.分析解答题（着重考查学生运用基本理论解决问题的能力）例：两个整数的和等于118，且其中一数为11的倍数，另一数为17的倍数。求这两个整数。C.证明题（着重考查学生的论证能力）例：在△ABC中，∠B≠900,BC边的中垂线交AB于D,△ABC的外接圆在A、C的切线交于E,求证：DE//BC.6《初等数学研究》教案授课时间2007.3.6第1次课授课章节第1章第1节任课教师及职称王剑讲师教学方法与手段讲授法、探究式课时安排2学时使用教材和主要参考书季素月等编《初等数学研究教程》李长明等编《初等数学研究》余元希等编《初等代数研究》朱德祥编《初等几何研究》教学目的与要求：引导学生深化对集合概念的理解和运用教学重点，难点：重点：集合的概念、集合的运算难点：笛卡儿积7教学内容：§1.1集合本节介绍集合的相关概念。根据康托的描述，任给一集合A，对于一事物χ，它或者是A中的元素，或者不是A中的元素，即“χ∈A”与“χ∈\A”，两者必居其一且仅居其一，没有第三种可能.集合的表示法1.列举法运用列举法表示集合必须注意下面两点：（1）元素的无序性.即所列举的元素的次序是无关紧要的.（2）元素的互异性.即所列举的元素应互不相同.2.描述法用确定的条件表示某种事物是否属于这个集合的方法，叫做描述法.一般地，如果用x表示变元χ所具有的某种性质，那么，由具有性质的所有元素χ组成的集合，可表示为｛χ|x｝.为了能直观形象地反映出集合与元集、集合与集合的关系，可用圆、矩形或封闭曲线表示一个集合，区域内部的点表示此集合的元素.如图1-1所示，A=｛α，b，c｝，B=｛b，c，e，f｝.这种形象直观的表示集合的图形叫做维恩（Venn）（或译为文氏）图或欧拉（Eular）图.《初等数学研究》教案8给定两集合A、B，如果集合A中每一元素都是集合B的元素，那么，称集合A为集合B的子集，这时也称A被B包含或者B包含A，记为AB或BA.如果AB，但A≠B，则称A是B的真子集，记为AB或BA.由两个集合相等的定义可得到一个简单而有用的结论：假定A、B是集合，那么A=B当且仅当AB且BA.因此，证明两个集合A、B相等的常用方法是证明A、B互相包含，即（1）任取χ∈A，证得χ∈B，即有AB；（2）任取χ∈B，证得χ∈A，即有BA.例1求证：抛物线y2=4χ各组相互垂直的切线的交点的轨迹为抛物线的准线χ=-1.证明设A、B分别为准线χ=-1上点集和y2=4χ各组相互垂直的切线的交点集合，设法证明A=B.设P∈B，则P为y2=4χ的任两垂直切线的交点，这两条切线的切点为（t12，2t1）、（t222tt，2t2），则切线方程分别是t1y=χ+t21，t2y=χ+t22.可求得P点的横坐标χ=t1t2，由于t1t2=-1，所以P∈A，即BA.设点Q（-1，m）是集合A内任一点，由不复杂的计算可得，当k≠0时，过Q点的直线y=k（χ+1）+m与抛物线相切的充要条件是存在实数k满足方程k2+mk-1=0.由于m2+4＞0，所以方程有两个相异实根k1，k2，且k1k2=-1，于是过Q点的分别以k1、k2为斜率的两切线垂直，即Q∈B，从而AB.综合上述证明知，A=B.易证集合的包含关系有如下重要性质：（1）AA；（2）若AB，BC，则AC.我们规定：空集是任意集合的子集.这一规定是合理的.事实上，若A是B的子集，则A中任一元素都属于B，也即A中不存在不属于B的元素.空集○/是没有元素的集合，所以在空集中不存在不属于任意集合A的元素，即空集是任意集合的子集，○/A.由集合相等的判别方法可以证明空集是唯一存在的.集合的运算1.交集（1）A∩B=B∩A（交换律）；（2）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；（结合律）（3）AB当且仅当A∩B=A；（4）A∩A=A（等幂律）；（5）A∩○/=○/，A∩I=A.2.并集（1）A∪B=B∪A（交换律）；（2）（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（结合律）；（3）AB当且仅当A∪B=B；（4）A∪A=A（等幂律）；（5）A∪○/=A；A∪I=I.（6）A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（A∩C）=（A∪B）∩（A∪C）.（7）A∩（A∪B）=A，A∪（A∩B）=A.9《初等数学研究》教案例2令A（n）表示n的所有质因数的集合，即A（n）=｛a|a是质数且a整除n｝.试证关于A（n）有下列结论成立：（1）若q整除n，则A（q）A（n）；（2）若q、r分别是m、n的公因数和公倍数，则A（q）A（m）∩A（n），A（m）∪A（n）A（r）；（3）若q是m、n的最大公因数，则A（q）=A（m）∩A（n）；（4）若r是m、n的最小公倍数，则A（r）=A（m）∪A（n）.证明（1）、（2）显然，下面证明（3）、（4）成立.设质数p∈A（m）∩A（n），则p整除m，p整数n，从而p整除它们的最大公因数q，于是p∈A（q）.所以，A（m）∩A（n）A（q），再由（2）的结论知，（3）成立.要证明（4）成立，需利用质数的一个性质：如果质数p整除a·b，则p整除a或整除b.设r是m、n的最小公倍数，且质数p∈A（r），则r=ms,r=nt，s、t互质.倘若p不整除m，由p整除ms知，p整除s.由于s、t互质，p不整除t，但p整除nt，所以p整除n，即p∈A（m）∪A（n），A（r