金融工程3-XXXX

Dr.Fan1§4.1连续复利–假设将金额A存于银行，名义年利率为R，计息方式为年度复利，那么n年之后，这笔存款的数额将升为：––半年计息一次–––每年计息m次–当m接近于无穷nRA221mnmRA1nRA)1(RnAe第四章利率及其他•零息利率（zero-couponinterestrate，zerorate,又称即期利率spotrate）–指从当前时点开始至未来某一时点止的利率，有时也称零息债券收益率（Zero-couponyield）。–零息利率曲线zerocurve：描述零息利率与到期时间的函数关系的图。•远期利率（forwardinterestrate）–指从未来某时点开始至未来另一时点止的利率。是由当前即期利率隐含的将来一定期限的利率4.2零息利率与远期利率即期1年利率012远期1年利率计算零息利率(boostrap法)•零息债券–零息债券形式上不支付利息，因此其在到期时支付的本金超过购买价的部分是实际利息。–零息债券只在到期时兑现实际利息，因而其收益率是”纯粹利率“。•附息债券–附息债券除了在到期时支付本金外，还在到期前每年或者每半年支付一次利息。–由于一张附息债券包含了不同期限的现金支付，因此其收益率是“混合利率”。•从长期国债推算零息债券收益率(即零息利率)：息票剥离法bootstrapmethod（课本P77-78)计算零息利率(boostrap法)•条件–已知零息债券收益率(R1,T1),(R2,T2),…,(Rn-1,Tn-1)–已知附息债券当前价格P，息票率R及期限Tn–附息债券支付利息的时间恰好为T1,T2,…,Tn–求Tn时的零息债券收益率Rn•推导–附息债券各期现金流折现成为现值等于当期价格–除Rn外均为已知，解方程得RnPeReRnniiTRniTR)1(11计算远期利率•条件–T2年零息(连续)利率为R2–T1年即期连续利率为R1，T1T2–求从第T1年开始的T2-T1年远期利率RF•资产组合–直接以R2的年利率投资T2年–以R1的年利率投资T1年，然后以f的远期利率投资T2-T1年。–两者的收益率应该是一致的。（假设都是无风险利率）12122)(221211TTTRTRReeeFTRTTRTRF远期利率的推算年(n)n年期投资的零息利率（%）第n年的远期利率（%）13.024.55.034.65.845.06.255.36.5121122121122)(TTTRRRRTTTRTRRFF如果零息收益率曲线在T1和T2之间是向上倾斜的，即R2R1，那么远期利率将比R1和R2都大；如果向下倾斜，则比两个利率都小利率期限结构远期利率零息债券收益率附息债券收益率期限利率期限结构远期利率零息债券收益率附息债券收益率期限瞬时远期利率•在远期利率的计算公式中，如果T2（无限）逼近于T1，将共同值记为T，那么可以得到：•以这种方式得到的RF叫期限为T的瞬时远期利率(instantaneousforwardrate)TRTRRF4.3债券定价•理论价格：对未来的每一笔现金流采用合适的零息利率折现。•债券收益率：使其现金值等于其市场价值的折现率。可以通过迭代法求出。•平价收益率：使债券价格等于平价（即本金）的息票率。通常假设半年付息一次。•具体内容见课本P76.4.4利率期限结构理论•什么决定着零息收益率曲线的形状？•预期理论–远期利率即为预期的未来即期利率。–利率随期限变长而上升意味着投资者预期未来利率上升。•流动性偏好理论–资金的供给者偏好流动性高（期限短）的债券。–长期债券必须提供利率升水以吸引资金的供给者。•对冲压力理论–尽管流动性对商业银行来说是必须考虑的关键因素，但是，并非所有的投资者都偏好短期债券•由于负债具有长期性，人寿保险公司与养老基金等机构投资者为了对冲风险更加偏好投资于长期债券–要使偏好长期（短期）债券的投资者投资于短期（长期）债券，那么短期（长期）利率必须比长期（短期）利率更具吸引力–在预期利率不变的情况下，收益率曲线的形态取决于偏好长期债券的投资者与偏好短期债券的投资者的力量对比–对冲压力理论的极端形式为：短期债券市场与长期债券市场是完全分割的，长期债券与短期债券的收益率取决于各自市场的供需状况4.5远期利率协议•远期利率协议（ForwardRateAgreements）–指的是协议双方约定在将来某个确定时间按照确定的数额、利率和期限进行借贷的合约。–远期利率协议一般不进行实际的借贷，而是以约定利率与市场利率的差额现金结算。•图示012签订协议借贷还本付息012签订协议现金结算•一份远期利率协议是交易双方为规避未来利率波动风险，或是以未来利率波动为基础进行投机而签订的一份协议。–作为避险者（hedger），他早已暴露在利率波动的风险中，但他希望能够避开这类风险。当他处于远期利率波动的风险中，并持有远期利率协议头寸后，避险者的净风险就会降低或完全消失。–作为投机者（speculatior），他开始时不会面临利率波动的风险，但是他希望能够从预期的利率波动中获取利润。对于投机者而言，持有远期利率协议的头寸，就会获得他所希望的利率风险。协议远期利率这分协议对出借方来说，0期的价值为:V(0)=100eRk(T*-T)e-r*T*-100e-rT考虑到远期合约在订立时价值为0，所以：RK(T*-T)－r*T*＝-rT也即r0TT*RKr*TTrTTrRK***结算•在T时点，双方或者履行协议或者现金结算。•结算金额–假设T时点时的即期利率（至T*）为R–资金的出借方在T时点的净盈利/亏损为：–如果RKR，则出借方有盈利，反之则亏损。)*()*(100100TTRTTReeK)*)((100100TTRRKe远期利率协议的价值•条件–0≤t≤T，r’和r”为在t期时期限为T-t和T*-t的即期利率。–求远期利率协议的价值。•推导V(t)=100eRk(T*-T)e-r”(T*-t)-100e-r’(T-t)考虑到r’0TT*R’Kr”tTTTrTrRK*'*')(')*)('(]100100[)(tTrTTRReetVKK示例•目前的1年期和2年期即期连续利率分别为2.5%和3%，问现在如果签订一份1年后生效的1年期远期利率协议，合理的协议连续利率是多少？假设过了9个月，3月期与15月期的即期连续利率分别为3%和4%。问原先签订的远期利率协议在这个时点上的价值是多少？假设每份协议的名义本金为100。•远期利率协定中的买方与卖方–买方向卖方支付从未来某一时刻开始的名义本金额(贷款或存款)的固定利率，同时向卖方收取相同名义本金额(贷款或存款)期限开始的浮动利率。–即是卖方向买方支付名义本金额(贷款或存款)期限开始时的浮动利率，同时向买方收取相同名义本金额(贷款或存款)的固定利率。远期利率协议买方远期利率协议卖方固定(FRA)利率浮动(参考)利率•远期利率协定的好处–将浮动利率负债转换为固定利率负债，以确定未来要偿还的利息支出，或将浮动利率资产转换为固定利率资产–仅就差额部分进行交割，不牵涉本金的移动，可节省资金成本及汇入汇出资金等费用–FRA在未到期前，亦可反向操作，以结清原合同，较具灵活性•远期利率协定的局限性–利率被锁定，但却使客户不能获得利率有利变化带来的好处。被保值的工具和远期利率协议参考利率的联系不够紧密时，会存在保值不完全的风险•对公司而言，从事远期利率协定应指明所需的远期天数期间及名目本金•市场报价方式–1×41个月后的3个月期利率–3×63个月后的3个月期利率–2×52个月后的3个月期利率–6×126个月后的6个月期利率Dr.Fan24第五章远期、期货及其定价定价•基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利–套利者可以卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，赚取无风险收益。–众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。•这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格(无套利定价法)。Dr.Fan25•为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的：1、没有交易费用和税收。2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3、远期合约没有违约风险。4、允许现货卖空行为。5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。6、期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。•课本中符号的详细说明：–T：远期合约到期日–t：当前时点–S：交割品在当前时点的现货价格–ST：交割品在到期时的现货价格（当前未知）–K：远期合约规定的交割价格–f：在当前时点远期合约多头的价值–F：t时点的远期合约价格–r：t时点的无风险年利率，以连续复利计算。§5.1不支付收益资产的远期合约的定价•不支付收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券，或者是短期内不分红的股票一、不支付收益资产远期合约多头的价值•组合A：一份远期合约多头[1]加上一笔数额为Ke-r(T-t)的现金•组合B：一单位标的资产在组合A中，Ke-r(T-t)的现金以无风险利率投资，投资期为（T-t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r(T-t)er(T-t)=K注[1]：该合约规定多头在到期日可按交割价格K购买一单位标的资产。•在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相等。因此：f+Ke–r（T–t）=S即：f=S-Ke–r（T–t）（5.6）f=S-Ke–r（T–t）•公式（5.6）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说，一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke–r（T–t）单位无风险负债组成。二、现货－远期平价定理•由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（5.6）式中f=0，则：F=Ser（T–t）（5.5）•这就是无收益资产的现货－远期平价定理（Spot-ForwardParityTheorem），或称现货－期货平价定理(Spot-FuturesParityTheorem)。式（5.5）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。•为了证明公式（5.5），我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的•假设FSer（T–t），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T-t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F•在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T–t），这就实现了F-Ser（T–t）的无风险利润。•若FSer（T–t），即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F•在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T–t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T–t）-F的利润§5.2支付已知现金收益资产远期合约的定价•支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已知现金红利的股票等。我们令已知现金收益的现值为I。对于黄金、白银等贵金属，尽管其本身并不产生收益，但需要花费一定的存储成本，而存储成本也可看成是负收益。因此对黄金、白银来说，I为负值一、支付已知现金收益资产的远期合约多头价值为了给支付已知现金收益资产的远期定价，我们可以构建如下两