层次分析法是对复杂问题作出决策的一种简明有效的新方法

层次分析法是对复杂问题作出决策的一种简明有效的新方法，它是将半定性，半定量的问题转化为定量计算的一种行之有效的方法，根据问题的总目标，以系统的观点，把复杂的系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来分析，决策，提供定量的依据。他特别适用于那些难于用定量进行分析的复杂问题。因此在资源分配，选优排序，政策分析，冲突求解以及决策预报等领域的到广泛应用。层次分析法提供了计算的一整套方法，大体可分为5步：1.建立问题的层次结构模型。2.构造判断矩阵3.计算层次单排序4.计算各层元素的组合权5.一致性检验。1.1.1系统的层次结构模型应用层次分析法，首先要把系统中所要考虑的各个因素或问题按其属性分成若干组；每一组作为一层，同一层次的元素作为准则对下一层的某些元素起着支配作用，它又同时受上一层次元素的支配这种从上而下的关系就构成一个递阶层次结构，通常可以化为一下几个层次。最高层（目标层）：表示解决问题的目标或理想结果中间层（策略层、约束层或准则层）：表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节。最低层（方案层）：表示决策的方案或解决问题的措施和政策。一般一个层次结构模型可表示如下：目标层决策目标最高层准则层准则f1准则f2……准则f3中间层子准则层子准则1子准则2……子准则3方案层方案1方案2方案3最低层1.1.2构造判断矩阵对于上一层的某一准则，需要确定在这一准则下有关各元素的相对重要性的权重，在没有确定的统一尺度下，人们对于事物的认识总是通过两两比较来进行的。假设A层中元素Ak与下一层次中元素B1，B2……Bn有联系，构造判断矩阵如下：AkB1B2B3B4B111bb12……nb1B221bb22……bn2B3B4b1nb2nb3nbnn其中bij表示对于AK而言，Bi与Bj相对重要性的数值表现形式。根据心理学研究表明，进行成队比较的等级，最多为9，即通常bij取1，2，3，……，9及它们的倒数。其含义为：1表示Bi与Bj一样重要；3表示前者比后者重要一点；5表示前者比后者重要；7表示前者比后者重要的多；9表示前者比后者极端重要；它们之间的数2，4，6，8则表示阶于其间的重要性判断。1.1.3计算单层次排序层次单排序是根据判断矩阵计算对上一层某元素而言本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值，可以通过计算判断矩阵的特征根和特征向量来求得。例如：准则层相对于目标层的成对比较矩阵及权重向量AB1B2B111/21/3B2212/3即A=122/11=3/23/1max=2.000注：方根法：由于A=122/11，得M=1*22/1*1n=2=nMA=3/23/1max=21)(iiinA=3/1*23/2*2/13/1*1+3/2*22/1*13/1*2=2若bij=bik/bjk则称Bi,Bj,Bk具有一致性。对判断矩阵B，若bij=bik/bjk(I;j;k=1,2,……n)，则B具有完全一致性。按理说，对任何一个判断矩阵B都应具有一致性，但由于比较是两量进行的，可能会造成不一致，为了检验判断矩阵B的有效性，须对其进行一致性检验。一致性指标CI为CI=1maxnn=1222=0当B具有完全一致性时，max=n，即CI=0。由于主观判断会造成不一致，为了检验矩阵是否具有满意的一致性，须将CI与平均一致性指标RI进行比较。对1~9阶矩阵，RI值见下表：n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45CR=CI/RI若CR0.1时，一般认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就要对判断矩阵进行调整。1.1.4计算各层元素的组合权重利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算对上一层而言本层所有元素重要性的权值，这就是层次总排序。层次总排序是从上而下逐层进行计算的。假设上一层次所有元素A1，A2……An的总排序已完成，分别为a1,a2,……,am,而已计算出与A1对应的本层次B1，B2，……Bn的单排序权值为bi1,bi2……，bin,则我们可以得B层的总排序。1.1.5一致性检验在层次分析的整个计算中，除了对判断矩阵进行一致性检验外，还要对层次进行组合一致性检验。分别定义如下：CI——层次总排序一致性指标；RI——层次总排序谁机一致性指标；CR——层次排序一致性比例即CI=miiiCIa1RI=miiiRIa1CR=CI/RI其中CIi、RIi分别为与AI对应的B层次中判断矩阵的一致性指标和随即一致性指标。同样，当CR0.1时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。1.2模糊综合评判的运算模型1.2.1模糊综合评判原理：模糊综合评判的数学模型由3个要素、5个主要步骤组成。按图1构建其中，3个要素：1因素论域2评语论域3单因素论域5个步骤：1确定评判对象的因素论域A例如：A={B1，B2}2确定评语等级论域V例如：V={优（4分），良（3分），及格（2分），差（1分）}3进行单因素评判，建立模糊关系矩阵对单个因素Bi的评判，得到V上的模糊集R,它是从B到V的一个模糊映射f：B→VBi→Vi=R（i=1.2.……）模糊映射f诱导了模糊关系R称为评判矩阵4确定各因素的权重=（1，2，……）5选择合成算子将和R合成得到的综合评判结果AA=*R依次反复进行合成运算，直至得到全面的综合评判结果，使评判信息明确化，最后做出等级评判。1.2.2单层模糊综合评判(一)模糊变换法以R表似乎模糊评价矩阵，A表示加权向量，要求A的各个元素和等于1，通过模糊变换的方式即“最大最小”原则获得评价结果向量，计算公式为b)(1ijjnijra(j=1,2,……,m)此时无论rij的值如何，aijir的结果都不可能大于ai,ai实际上没有起到加权的作用，而是起到“过滤”、“限制”的作用。在下一步运算中通过取大，在n个aijir中只取一个最大值，淘汰了其他因素。(二)以“乘”代替“取小”计算公式为b)(1ijinijra(j=1,2,……,m)这时的ai不再起“过滤”、“限制”的作用，确实是在“加权”。但下一步乃是取大运算，A乃未能全部进入bj，主因素的作用仍然突出。(三)以“加”代替“取大”计算公式为：bniijijra1)((j=1,2,……，m)这时的ai仍然起“过滤”、“限制”的作用，但以求和代替取大，各个因素都有参加作用的机会，主因素的作用不再那么突出了。(四)加权平均计算公式为bniijijra1(j=1,2,……,m)在加权平均算法中按普通矩阵乘法计算权向量与评价矩阵的乘积。这种算法在评价结果向量中包括所有因素的共同作用，真正体现了“综合”。1.2.3多层模糊综合评判在复杂的系统中，因素很多，如果权重的分配比较均衡，由于权重要满足1ia，当因素数n10，其中会有多数ai0.1,在模糊变换等一类突出主因素方法时，在“取小”运算后，微小的权数会“淹没”多数评价因素值，这样就无法求出解答。对这类问题，可以把因素按特点分成几层，先对每一层内进行综合评判，在对评判结果进行高层次的综合评判。例如对因素Ui的k个因素做综合评判，有BiiiRA（i=1,2,3）在做总的综合评判得B=AR其中A为新的权重向量，R为总的评价矩阵，有R=321BBB最后的B是对多有因素的综合评价结果。