山东省济宁市2013届高三3月模拟考试理科数学试卷

第1页共10页山东省济宁市2013届高三3月模拟考试数学(理工类)试题2013.03参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A、B独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共l2小题．每小题5分。共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．1．复数21iz()i，则复数1z在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U=R，集合A={21y|yln(x),xR}，集合B={21x||x|}，则如图所示的阴影部分表示的集合是A．{013x|xx或}B．{|01xx}C．{|3xx}D．{|13xx}3．下列命题中正确的有①设有一个回归方程y=2—3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；②命题P：“2000,--10xRxx”的否定P：“,102xRx-x-”；③设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X1)=p，则P(-1X0)=12-p；④在一个2×2列联表中，由计算得k2=6．679，则有99％的把握确认这两个变量间有关系．A．1个B．2个C．3个D．4个本题可以参考独立性检验临界值表P(K2?k)0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.5357.87910.8284．平面四边形ABCD中+=0,(-)=0ABCDABADAC，则四边形ABCD是A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形5．已知()fx是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=()fx，且当[0,2]x时，()=-1xfxe，则(2013)+(-2014)ff=A．1-eB．e-1C．-l-eD．e+l6．如果右边程序框图的输出结果是6，那么在判断框中①表示的“条件”应该是第2页共10页A．i≥3B．i≥4C．i≥5D．i≥67．设x，y满足约束条件23-1+1xxyyx，若目标函数=+(0,0)zaxbyab的最小值为2，则ab的最大值为A．1B．12C．14D．168．已知m，n是空间两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若//，m，n，则//mnB．若=,=,//mnmn，则//C．若,,m则mD．若,//,mm则9．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有A．24种B．18种C．48种D．36种10．关于函数()=2()fxsinx-cosxcosx的四个结论：P1：最大值为2；P2：把函数221f(x)sinx的图象向右平移4个单位后可得到函数2f(x)(sinxcosx)cosx的图象；P3：单调递增区间为[71188k,k]，kZ；P4：图象的对称中心为(128k,)，kZ．其中正确的结论有A．1个B．2个C．3个D．4个11．现有四个函数：①yxsinx②yxcosx③yx|cosx|④2xyx的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A．④①②③B．①④③②C．①④②③D．③④②①第3页共10页12．过双曲线22221xyab(a0,b0)的左焦点F(-c,0)作圆222xya的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为原点，若12OE(OFOP)，则双曲线的离心率为A．152B．333C．52D．132第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题．每小题4分．共16分．13、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线2yax经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是▲14．251(ax)x的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为▲15．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+7…23=3+533=7+9+11…24=7+9…此规律，54的分解式中的第三个数为▲16．函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数f(x)满足：(1)f(x)在[a，b]内是单调函数；(2)f(x)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f(x)的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是▲(只需填符合题意的函数序号)①20f(x)x(x)；②xf(x)e(xR)；③10f(x)(x)x；④2401xf(x)(x)x。三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．(本小题满分12分)第4页共10页在△ABC中，已知A=4，255cosB．(I)求cosC的值；(Ⅱ)若BC=25，D为AB的中点，求CD的长．18．(本小题满分l2分)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为34、23、12。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图1，O的直径AB=4，点C、D为O上两点，且CAB=45°，DAB=60°，F为弧BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。(I)求证：OF//平面ACD；(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值；(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G，使得FG//平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)第5页共10页已知数列{na}的前n项和1122n*nnSa()(nN)，数列{nb}满足nb=2nna．(I)求证数列{nb}是等差数列，并求数列{na}的通项公式；(Ⅱ)设2nnncloga，数列{22nncc}的前n项和为Tn，求满足2521*nT(nN)的n的最大值。21．(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为43.(I)求椭圆C的标准方程；(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为12。①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为1k，直线PB的斜率为2k，判断1k+2k的值是否为常数，并说明理由．22．(本小题满分l3分)已知函数3f(x)alnxax(aR)．(I)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数yf(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t[1，2]，函数322mg(x)xx[f'(x)](f'(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(Ⅲ)求证：23412234*lnlnlnlnn...(n,nN)nn2013年济宁市高三模拟考试第6页共10页数学（理工类）试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共60分.1～5DACCB6～10DDDAB11～12CA13.3214.1015.12516.①③④三、解答题：共74分.17．解：（Ⅰ）552cosB且(0,180)B，?55cos1sin2BB…………2分)43cos()cos(cosBBAC…………………………………………4分1010552255222sin43sincos43cosBB………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得10103)1010(1cos1sin22CC………………8分由正弦定理得sinsinBCABAC，即101032252AB，解得6AB．……………………10分在BCD中，55252323)52(222CD5，所以5CD18.解：（Ⅰ）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A、B、C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC+CBA.ABC与CBA为互斥事件，且A、B、C为彼此独立(PABC+CBA)=P（ABC）+P（CBA）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C=21314321324383.……………4分（Ⅱ）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X的取值为0,1,2,3.)0(XP=P（CBA）=213141=241,)1(XP=P（CBA+CBA+CBA）=213143+213241+213141=41,…………6分)2(XP=P（CAB+BCA+CBA）=213243+213241+213143=2411,)3(XP=P（ABC）=213243=41,………………………………………………8分随机变量X的分布列为X0123P24141241141第7页共10页ABCDOFGEEX=2410+411+24112+413=1223.……………………………………………12分ABCDOFGxyz19.（方法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接CO，45CAB，ABCO.…1分又F为弧BC的中点，45FOB，ACOF//.………OF平面ACD，AC平面ACD，//OF平面ACD．…解：（Ⅱ）过O作ADOE于E，连CE．ABCO，平面ABC?平面ABD．CO?平面ABD．又AD平面ABD，ADCO，AD平面CEO，CEAD，则?CEO是二面角C-AD-B的平面角．…60OAD，2OA，3OE.由CO?平面ABD，OE平面ABD，得CEO为直角三角形，2CO，7CECEOcos=73=721．………8分（Ⅲ）取弧BD的中点G，连结OG、FG，则==60BOGBADADOG//…//OF平面ACD，平面//OFG平面ACDFG//平面ACD.……………因此，在弧BD上存在点G，使得FG//平面ACD，且点G为弧BD的中点．…12分（方法二）：证明：（?）如图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系xyzO则0,20A,200,,C……1分)2,2,0()0,2,0()2,0,0(AC，点F为弧BC的中点，点F的坐标为0,22,，)2,2,0(OF．22OFAC第8页共10页解：（Ⅱ）60DAB，点D的坐标013,,D，(3,1,0)AD．设二面角--CADB的大小为，1,,nxyz为平面ACD的一个法向量．由110,0,nACnAD有,,0,2,20,,,3,1,00,xyzxyz即220,30.yzxy取1x，解得3y，3z．1n=331,,-．………………………5分取平面ADB的一个法向量2n=100,,，…………………………………………6分121210(3)03121cos771nn|n||n|．………………………8分（