山东省淄博市2015届高考数学摸底试卷理(含解析)

文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站届高考数学摸底试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，那么CU（A∩B）（）A．{0，1}B．{2，3}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}2．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x+1B．y=x3C．y=tanxD．y=log2x3．（5分）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为（）A．k≤5？B．k＞4？C．k＞3？D．k≤4？4．（5分）若“￢p∨q”是假命题，则（）A．p是假命题B．￢q是假命题C．p∨q是假命题D．p∧q是假命题5．（5分）已知向量=（2，1），+=（1，k2﹣1），则k=2是⊥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．7．（5分）在区间（0，）上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥”发生的概率为（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．B．C．D．8．（5分）函数y=（ex﹣e﹣x）sinx的图象（部分）大致是（）A．B．C．D．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（2+x）=f（2﹣x），f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）在等差数列{an}中，a15=33，a25=66，则a35=．12．（5分）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积是．13．（5分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是．14．（5分）设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（5分）给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．对于二次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），有如下真命题：任何一个二次函数都有位移的“拐点”，且该“拐点”就是f（x）的对称中心，给定函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据上面结论，计算f（）+f（）+…+f（）=．三、解答题（共75分，应写出必要的计算过程、证明）16．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期是π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式及其在[0，]上的值域．17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG，EF∥DG，∠EDG=120°．（Ⅰ）证明：FG⊥平面ADF；（Ⅱ）求二面角A﹣CG﹣F的余弦值．18．（12分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．（Ⅰ）求sin∠BDC的值；（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（12分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．（Ⅰ）求证：{+}是等比数列，并求{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn=（3n﹣1）••an，记其前n项和为Tn，若不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+n对一切n∈N*恒成立对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点D（2，0），E（1，）两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点A，B，点G是线段AB的中点，点O为坐标原点，设射线OG交椭圆C于点Q，且=λ．①证明：λ2m2=4k2+1；②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex．（Ⅰ）求函数y=f（x）﹣x的单调区间；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）﹣f（x）＞2；（Ⅲ）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=ax1，f（x2）=ax2．求证：x1x2＞e2．山东省淄博市2015届高考数学摸底试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，那么CU（A∩B）（）A．{0，1}B．{2，3}C．{0，1，4}D．{0，1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．分析：找出A与B的公共元素，求出两集合的交集，在全集中找出不属于交集的部分，即可确定出所求的集合．解答：解：∵集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}，又全集U={0，1，2，3，4}，则CU（A∩B）={O，1，4}．故选：C．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x+1B．y=x3C．y=tanxD．y=log2x考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用常见函数的奇偶性和定义，注意首先判断定义域是否关于原点对称，即可得到既是奇函数又在定义域上单调递增的函数．解答：解：对于A．定义域为为R，f（﹣x）=﹣x+1≠﹣f（x），不为奇函数，则A不满足条件；对于B．定义域为R，f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），则为奇函数，且f′（x）=3x2≥0，f（x）在R上递增，则B满足条件；对于C．定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，关于原点对称，tan（﹣x）=﹣tanx，则为奇函数，在（k，k）（k∈Z）上递增，则C不满足条件；对于D．定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，不具奇偶性，则D不满足条件．故选：B．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查常见函数的奇偶性和定义的运用，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为（）A．k≤5？B．k＞4？C．k＞3？D．k≤4？考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S条件？K循环前0/1第1圈1否2文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站是可得，当k=4时，S=26．此时应该结束循环体并输出S的值为26所以判断框应该填入的条件为：k＞3？故选：C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．4．（5分）若“￢p∨q”是假命题，则（）A．p是假命题B．￢q是假命题C．p∨q是假命题D．p∧q是假命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于“￢p∨q”是假命题，可得￢p与q都是假命题，即可判断出．解答：解：∵“￢p∨q”是假命题，∴￢p与q都是假命题，∴p∧q是假命题．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法，属于基础题．5．（5分）已知向量=（2，1），+=（1，k2﹣1），则k=2是⊥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直的充要条件，可知若⊥则两个向量的数量积等于0，再用向量的数量积的坐标公式计算即可．解答：解：∵向量=（2，1），+=（1，k2﹣1），∴=（﹣1，k2﹣2），当k=2时，∴=（﹣1，2），∴=2×（﹣1）﹣1×2=0，∴⊥，若果⊥，文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站∴∴k=0．∴当k=2是⊥的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的坐标运算公式．6．（5分）沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案．解答：解：由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确故A选项正确．故选：A．点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．7．（5分）在区间（0，）上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥”发生的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先化简不等式，确定满足tanx•cosx≥且在区间（0，）内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答：解：∵tanx•cosx≥，即sinx≥且cosx≠0，文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站∵x∈（0，），∴x∈[，），∴在区间（0，）内，满足tanx•cosx≥发生的概率为P==．故选：D点评：本题考查几何概型，三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）函数y=（ex﹣e﹣x）sinx的图象（部分）大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性，排除部分选项，然后利用0＜x＜π时的函数值，判断即可．解答：解：函数f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）（﹣sinx）=（ex﹣e﹣x）sinx=f（x），∴函数f（x）=（ex+e﹣x）sinx是偶函数，排除A、B；当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除D．∴C满足题意．故选：C．点评：本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答．9．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|