天津大学结构力学5.

结构力学Structuralmechanics第5章用力法计算超静定结构水利工程仿真与安全国家重点实验室5.1超静定结构及其计算方法概述超静定结构—在任意荷载下，未知力仅由静力平衡方程不能完全确定。未知力数独立静力平衡方程数基本特性—静力平衡方程解不唯一，有无限多组；为确定内力，除平衡外，还须考虑几何及物理方面其他特性—与静定结构相反基本计算方法—力法（本章）、位移法（第6章）力法基本未知量为力，位移法基本未知量为位移，基本未知量是“突破口”，其余未知量可视为基本未知量的函数。求得基本未知量，其余问题迎刃而解未知力数独立静力平衡方程数存在多余力有多余约束（几何组成特征）存在多余力图5.1a，1个多余约束；3个平衡方程，4个未知力∴多余力数=15.2超静定次数的确定多余力数称为超静定次数图5.1a为1次超静定。静定结构为0次超静定。超静定次数=多余力数=多余约束数=转化为静定所需撤除的约束数撤除（或截断）1根链杆=撤除1个约束撤除1个单铰=撤除2个约束撤除1个单刚结点=撤除3个约束将1个单刚结点换成铰结点=撤除1个约束5.2超静定次数的确定图5.2a、b、c，超静定撤除多余约束图5.3a、b、c，静定，X1、X2等为多余力（矩）∴图5.2为2、3、10次超静定5.2超静定次数的确定图5.2c图5.4，有3个闭合无铰“框”图5.3，1个闭合无铰“框”为3次超静定∴图5.4为9次超静定图5.2c为10次超静定图5.5a，36次；图5.5b，3次5.2超静定次数的确定图5.6a，撤多余约束并保留多余力X1、X2及荷载基本体系（图5.6b）如果荷载相同并且X1=FRBx，X2=FRBy，则两个刚架的受力状态完全相同∴可通过计算基本体系的内力求得原结构的内力5.3力法的基本概念和解题步骤关键是求X1和X2—力法的基本未知量原结构和基本体系的变形及位移也完全相同∴在荷载和多余力共同作用下，基本体系相应于X1和X2的位移都应=0（变形协调条件）。由叠加原理5.3力法的基本概念和解题步骤其中：δ11和δ12是单位荷载引起的与X1相应的位移δ21和δ22是单位荷载引起的与X2相应的位移Δ1P和Δ2P是实际荷载引起的与X1和X2相应的位移（5.1）称为力法基本方程δij和ΔiP（i，j=1，2）称为系数和自由项系数就是§4.6中的位移影响系数（柔度系数）系数和自由项下标的意义同§4.6位移互等定理用单位荷载法计算系数和自由项解力法方程，求得基本未知量用叠加原理求内力：5.3力法的基本概念和解题步骤在荷载作用下，n次超静定结构力法计算步骤：（1）建立基本体系—撤除n个多余约束，保留多余力X1、X2、…、Xn。注意，基本结构必须几何不变。（2）写基本方程：由位移互等定理（5.3）又称力法典型方程5.3力法的基本概念和解题步骤（3）计算系数和自由项对梁和刚架，先做基本结构的单位弯矩图和MP图对桁架，先计算基本结构的单位轴力和FNP5.3力法的基本概念和解题步骤（4）解基本方程，求基本未知量X1、X2、…、Xn（5）求内力对梁和刚架：对桁架：用力法计算超静定结构在支座位移和温变作用下的内力，原理和步骤与上述大体相同，但各有特点，§5.55.3力法的基本概念和解题步骤超静定梁和刚架例5-1图5.7a，作M图和FQ图。EI=常数。解（1）建基本体系，“串联”简支梁。（2）写基本方程意义：在荷载和多余力共同作用下，基本结构在支座A转角为零，在支座B、C左右截面相对转角为零。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）计算系数和自由项。先作单位弯矩图和MP图。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（4）解基本方程，得X1=-ql2/16，X2=-ql2/8，X3=-ql2/16（5）作M图。基本未知量为支座截面弯矩，M图可用分段叠加法直接作出。如基本体系为其他形式，要先按（5.6a）求杆端弯矩。由M图作FQ图。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算讨论：基本体系不是唯一的，只要几何不变，都可作为基本结构。但是，基本体系不同，计算有繁简之分。“串联简支梁”的优点：1）系数和自由项计算简便且有规律；2）解基本方程可直接得出各杆端弯矩。比较：图5.8a、5.8b。对连续梁采用“串联简支梁”作基本体系，基本方程为“三弯矩方程”5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算例5-2图5.9a，作M图。解（1）建基本体系，图5.9b。借鉴上例。（2）写基本方程5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）计算系数和自由项。先作单位M图和MP图。（4）解基本方程，得（5）作M图5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算讨论：本例及上例内力计算结果均不含EI，但本例结果包含柱梁抗弯刚度之比k。荷载作用下，超静定结构的内力与各杆刚度比值有关，而与刚度的实际大小无关。（重要特性！）例5-1各杆刚度比为1，改变刚度比，内力也随之改变。本例中柱弯矩和梁左端弯矩的绝对值随k增大而增大，梁下部弯矩随k增大而减小。当k∞，柱下端和上端（梁左端）弯矩的绝对值分别ql2/16和ql2/8，梁左端固定右端简支；当k0，柱端和梁端弯矩0，柱对梁端弯曲变形几乎无约束，梁简支梁。在其他外因（温变、支座位移等）作用下，超静定结构的内力不仅与各杆刚度的比值有关，而且与刚度的实际大小有关。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定桁架基本结构的两种方案：1）截断多余杆件，基本方程与（5.3）相同2）撤除多余杆件，基本方程与（5.3）有别“截断”二力杆，仅撤除与轴力相应的约束，“截断”后两部分可沿轴线相对移动，但不能相对错动或转动，图5.10b。图5.10a=图5.10b。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算(3)计算系数和自由项。表5.1（表中刚度为相对值）注意：求和时要将被截断的杆件也计算在内。由表5.1的最后一行，得（4）解基本方程，得X1=X2=-7FPa/9（5）计算轴力：（图5.11c）5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算超静定组合结构例5-4图5.12a，求二力杆的轴力并作梁式杆的弯矩图解：（1）建基本体系，图5.12b。（2）写基本方程5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）作梁式杆单位弯矩图，并计算二力杆的相应轴力，图5.12c；作荷载下梁式杆的弯矩图，二力杆相应轴力为零，图5.12d。系数和自由项5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（4）解基本方程，得（5）求内力梁式杆（图5.12e）：二力杆5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算例5-5排架如图5.13a所示，作弯矩图。工业厂房中常用。屋面结构简化为链杆，不考虑屋面竖向荷载时，该杆为二力杆。解（1）截断杆CD，建基本体系，图5.13b。（2）写基本方程：δ11X1+Δ1P=05.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（3）作单位多余力和荷载下的弯矩图，图5.13c、d。FNCD分别为1和0。∵CD杆EA=∞，∴计算系数和自由项不必考虑CD杆。5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算（4）解基本方程，得（5）作弯矩图（5.13e）5.4超静定结构在荷载作用下的内力计算原理和步骤与荷载问题相同，但自由项的含义及其计算不同在支座位移情况下，基本方程的形式也与荷载问题有所不同内力完全由多余力引起温度变化问题基本方程为其中δij(i，j=1，2，…，n)的意义和计算方法同前；Δit(i=1,2,…,n)的下标“t”表明位移的原因是温变。5.5温变和支座位移下的内力计算温变在基本结构中不引起内力，∴结构的内力（以弯矩为例）为：5.5温变和支座位移下的内力计算例5-6刚架温变如图5.14a。杆截面为矩形，b=20cm，h=50cm，E=3×107kN/m2，α=10-5，作弯矩图。解：（1）建基本体系，图5.14b。（2）写基本方程：δ11X1+Δ1t=05.5温变和支座位移下的内力计算（3）作单位弯矩图和单位轴力图，图5.14c、d。注意：计算系数可忽略轴变的影响，计算自由项一般必须考虑轴变的影响。5.5温变和支座位移下的内力计算（4）解基本方程，得（5），图5.14e。讨论：基本方程中系数与杆件刚度成反比，而自由项与刚度无关∴多余力与刚度成正比温变在超静定结构中引起的内力，不仅与各杆刚度的比值有关，而且与刚度的实际大小成正比。与荷载作用下的情况不同！5.5温变和支座位移下的内力计算支座位移问题基本方程为第i个方程：在支座位移和多余力共同作用下，基本体系与Xi相应的位移与原结构相同。Δi是原结构相应于Xi的位移。δij（i，j，…，n）的意义和计算同前Δic是基本体系的支座位移引起的与Xi相应的位移：其中是引起的与基本体系的第j个支座位移cj相应的反力。5.5温变和支座位移下的内力计算Δic和Δi对应同一个Xi，但Δic是基本结构的位移而Δi是原结构的位移基本体系的支座位移∈原结构的支座位移，是撤除多余约束后保留在基本体系中的支座位移如果原结构的支座位移数≤超静定次数，并且建立基本体系时已将发生支座位移的所有约束全部撤掉，结果基本体系将不含有任何支座位移→所有的Δic=0。在荷载或温变情况下，基本方程的右边也可写成Δi，不过在这两种情况下，所有的Δi（i=1，2，…，n）=0支座位移在基本结构中不引起内力，因此，在解出基本未知量以后，内力计算公式与式（5.10）相同：5.5温变和支座位移下的内力计算例5-7图5.15a，作弯矩图。解：3次超静定，但由于不涉及轴力且轴力不影响弯矩，∴可作为2次超静定求解。（1）建基本体系，图5.15b。保留原结构右端与竖向位移相应的约束，撤除左端与转角相应的约束。5.5温变和支座位移下的内力计算（2）原结构与X1和X2相应的位移为Δ1=θA，Δ2=0，∴基本方程为（3）作单位弯矩图并画出相应反力，图5.14c、d。5.5温变和支座位移下的内力计算（4）解基本方程，得（5），图5.15e。讨论：系数与刚度成反比，而自由项与刚度无关，∴多余力与刚度成正比。∴支座位移在超静定结构中引起的内力不仅与各杆件刚度比有关，而且与刚度的实际大小成正比。与温变情况相同，与荷载情况不同。5.5温变和支座位移下的内力计算对称性：图5.16a，结构的轴线形状、支撑方式、截面几何特征(I、A)、材料性质(E、G)对称于同一轴线例5-5（图5.13a）、例5-7（图5.15a）均为对称结构例5-3（图5.11a）、例5-4（图5.12a），除左边水平支杆都对称，竖向荷载，水平反力为零，受力对称，可视为对称结构。5.6对称性的利用利用对称性的方法（之一）—采用对称基本结构图5.16a→图5.16b，基本未知量：X1、X2、X3轴力X1、弯矩X2是对称多余力剪力X3是反对称多余力对称多余力的单位弯矩图也对称，图5.16c、d；反对称多余力的单位弯矩图也反对称，图5.16e。5.6对称性的利用易知：δ13=δ31=δ23=δ32=0∴三元联立方程组被“解耦”、降阶为：荷载对称，MP图也对称，图5.17a。Δ3P=0→X3=0∴，对称！荷载反对称，MP图也反对称，图5.17b。Δ1P=Δ2P=0→X1=X2=0，反对称！5.6对称性的利用结论：荷载对称，对称结构的反力和内力也对称荷载反对称，对称结构的反力和内力也反对称非对称荷载：将荷载分组，对称+反对称分别计算，再叠加例5-8图5.18a，利用对称性简化计算。解：荷载分组：对称（图5.18b）+反对称（图5.18c）5.6对称性的利用采用对称基本体系，图5.18d。在对称荷载作用下，X1=X4，X2=X3，2个对称广义基本未知量，图5.18e在反对称荷载作用下，X1=-X4，X2=-X3，2个反对称广义基本未知量，图5.18f结果：4次超静定问题变成了两个2次超静定问题，分别求解，最后叠加，弯矩图见图5.19。5.6对称性的利用常用超静定拱：二铰拱（1次，图5.20a、b）无铰拱（3次，图5.20c）主要力学特征：