天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考数学(理)试题

·1·2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题(共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB柱体的体积公式ShV.其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.已知全集0,1,2,3,4,5U，集合1,2,3,5,2,4AB，则UCAB为A．0,2,4B．4C．1,2,4D．0,2,3,42.设变量,xy满足约束条件2030230xxyxy，则目标函数2zxy的最大值为A．0B．3C．6D．123.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x-1的图象上4.下列说法正确的是A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若 abR，，则“0ab”是“0a”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋10”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋10”D．若“qp且”为假，则p，q全是假命题5.已知双曲线C：22221(0,0)yxabab的离心率52e，点P是抛物线24yx上的一动点，P到双曲线C的上焦点1(0,)Fc的距离与到直线1x的距离之和的最小值为6，则该双曲线的方程为A．22123yxB．2214yxC．2214xyD．22132yx6.在ABC中，内角CBA,,的对边分别为cba,,，若ABC的面积为S，且226cbaS）（，则Ctan等于A．125B．125C．125D．125·2·7.如图，PT切O于点T，PA交O于,AB两点，且与直径CT交于点D，3,CD4,AD6BD，则PB＝A．6B．8C．10D．148.已知()fx为偶函数，当0x时，()(24),(0)fxmxxm，若函数()4yffxm恰有4个零点，则实数m的取值范围A．10,6B．1550,,662C．1550,,442D．10,4第Ⅱ卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9.i是虚数单位，复数21ii．10.在53xx的二项展开式中，2x的系数为．11.已知曲线1xy与直线1,3,xxx轴围成的封闭区域为A，直线1,3,0,1xxyy围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．12.一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为．13．直线l：12xatyt（t为参数），圆C：22cos()4（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C上至少有三个点到直线l的距离恰为22，则实数a的取值范围为．14.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,2,AB1,ADDCP是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，,DQDC(1),CPCB若集合}|{AQAPxxM，BDOPCTA·3·221,,13()abNxxababab.则MN．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数)6(coscos)(22xxxf，Rx(Ⅰ)求()fx最小正周期；(Ⅱ)求()fx在区间]4,3[上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题,某考生从中任抽取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B类题的概率；(Ⅱ)设所抽取的四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，//EFBC,4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．(Ⅰ)求证：AOBE；(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为562,求实数a的值．18．（本小题满分13分）设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为41.EFACBO·4·(Ⅰ)求椭圆E的离心率e；(Ⅱ)PQ是圆C:215)1()2(22yx的一条直径，若椭圆经过P，Q两点，求椭圆E的方程．19．（本小题满分14分）已知非单调数列{}na是公比为q的等比数列，且114a，2416aa，记5.1nnnaba(Ⅰ)求{}na的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n，|1|3nmb都成立，求实数m的取值范围；(Ⅲ)设数列2{}nb，21{}nb的前n项和分别为,nnST，证明：对任意的正整数n，都有223nnST．20．（本小题满分14分）已知函数1()lnfxxx，()gxaxb．(Ⅰ)若函数()()()hxfxgx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若直线()gxaxb是函数1()lnfxxx图象的切线，求ab的最小值；(Ⅲ)当0b时，若()fx与()gx的图象有两个交点1122(,),(,)AxyBxy，试比较12xx与22e的大小．（取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4）·5·2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号12345678答案ACDBBCDB二、填空题:每小题5分，共30分.9．1322i；10．90；11．ln32；12．9278；13．2,27；14．23,23三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数)6(coscos)(22xxxf，Rx(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间]4,3[上的最大值和最小值.解：22()coscos()6fxxx1cos(2)1cos2322xx……2分33sin2cos2144xx……3分3sin(2)123x……5分1)函数()fx的最小正周期22T……6分2)函数()fx在,312单调递增，在,124单调递减。……8分133(),()1,()1.3412244fff……11分minmax13(),()1.42fxfx……13分16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题,某考生从中任取四道题解答.·6·(Ⅰ)求该考生至少取到2道B类题的概率；(Ⅱ)设所取四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.[:]解：(Ⅰ)设事件A:”该考生至少取到2道B类题”.()PA43144641037142CCCC……4分（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，……5分4441010210CPXC3146410241210CCPXC2246410902210CCPXC，1346410803210CCPXC46410154210CPXC……10分∴随机变量X的分布列为：……11分∴随机变量X的期望为：12490801512012342102102102102105EX……13分17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC∥,4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．(Ⅰ)求证：AOBE；(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为562,求实数a的值．X01234P121024210902108021015210·7·解：(Ⅰ)由于平面AEF平面EFCB，AEF△为等边三角形，O为EF的中点，则AOEF，EFEFCBAEF平面平面,根据面面垂直性质定理，所以AO平面EFCB，又BE平面EFCB，则AOBE.…3分(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,则EFOD以O为原点，分别以ODOAOE、、为、、xyz轴建立空间直角坐标系，…4分)0,0,0(O，)0,0,(aE，)0,0,(aF，)0,3,0(aA，))2(3,0,2(aB，))2(3,0,2(aC，))2(3,0,2(aaBE设平面AEB的法向量),.(zyxm00EmAEm即0)2(3)2(03zaxaayax令1,3,1zxy)1,1,3(m……6分平面AEF的法向量为)1,0,0(n，……7分二面角FAEB的余弦值55,cosnmnmnm，……8分由二面角FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的余弦值为55.……9分(Ⅲ)))2(3,3,2(aaCA……10分设直线CA与平面BEA所成角为，mCAmCAsin562)2(33453422aa10161262aa……12分OEFBACxz·8·)2,0(1a满足题意1a……13分18．（本小题满分13分）设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为41.(Ⅰ)求椭圆E的离心率e；(Ⅱ)PQ是圆C:215)1()2(22yx的一条直径，若椭圆经过P，Q两点，求椭圆E的方程．（I）A0a，B0b，点M在线段AB上，满足2BMMAM)3,32(ba……1分412abkOM21ab……2分23)(12abac椭圆E的离心率e为23……4分(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=.(1)……5分依题意，圆心)1,2(C是线段PQ的中点，且30PQ.……6分易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为(2)1ykx=++，……7分代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40kxkkxkb+++++-=……8分设),(,),(2211yxQyxP则22141)12(8kkkxx,22221414)12(4kbkxx……9分由124xx+=-，得28(21)4,14kkk+-=-+解得12k=.……10分从而21282xxb=-.于是4254)(25)21(1221221212bxxxxxxPQ……11分由30PQ，得304252b，6422b解得52b.……12分·9·故椭圆的方程为152022yx.……13分解法二：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=.(1)……5分依题意点QP、关于圆)1,2(C对称且30PQ……6分),(,),(2211yxQyxP则22222221214444byxbyx……7分两式相减得0)(8)(42121yyxx易知PQ不与x轴垂直，则21xx,212121xxy