天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题

天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题1天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题一、填空题（共15分，每小题3分）1.余子式和代数余子式；2.行列式计算；3.求矩阵的秩；4.线性相关与线性无关，求参数；5.向量正交，求参数。二、选择题（共15分，每小题3分）1.矩阵与行列式的性质；2.线性相关与线性无关）；3.方程组的有解充分必要条件；4.特征值的性质；5.相似矩阵性质。三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。四、（10分）求解矩阵方程。五、（10分）求解非齐次方程组（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。六、（10分）极大无关组。七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化(不需要单位化).八（12分）求矩阵的特征值与特征向量，并把矩阵对角化（二阶方阵）。九、（8分）解的结构。一、填空题（共15分，每空3分）1．行列式的余子式和代数余子式；例1、行列式123756840D中元素6的余子式的值为_____-12____；代数余子式的值为_______12______.例2、设三阶行列式1230450D，则元素2的代数余子式12A的值为___-20_____.天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题22.行列式计算；(一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母)例1．行列式0002001003002000的值为____12_____例2．2100032100430005______120________.例3．111123149______2________.3.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。例1.设矩阵111222333A，则A的秩为(1).例2.设矩阵051022003A，则A的秩为(2).4.线性相关与线性无关，求参数；要点：1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0.2）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例例1.若向量组(1,1,2),(3,2,0),(1,4,)线性相关，则____-4_________.例2.若向量组(1,1,2),(3,2,0),(1,4,)线性无关，则___-4_________.例3．若向量组)6,4,1(与),-8,2(线性相关，则______12_________.5.向量正交，求参数。（两个或者三个向量正交）要点：向量ba,正交当且仅当0,）（ba例1设向量(2,5,4)与向量(1,1,)tt正交，则t____3_______.例2设三个向量)0,,1(t，),1,0(t，)1,0,0(t两两正交，则t_____0______.天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题3二、选择题（共15分，每小题3分）1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）例1.设A、B为两个n阶方阵，则（B）.(A)ABBA；(B)TTTTABBA；(C)TTTTABBA；(D)()TTTABAB.例2.设A为二阶方阵，且2A，则1(3)A（A）.(A)118；(B)92；(C)32；(D)16.例3.设A、B为两个n阶方阵，则（B）.(A)ABBA；(B)ABBA；(C)BABA则若,；(D).BAOCBCAC则若,,2.线性相关与线性无关；例1.关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（B）.(A)如果12,,,mααα线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余1m个向量线性表示；(B)如果n个n维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零；(C)如果12,,,mααα线性相关，则存在一组全不为零的数12,,,mkkk，使得1122mmkkkααα0；(D)如果n维向量12,,,mααα线性无关，则必存在n维向量β，使得12,,,,mαααβ线性无关.例2.下列向量组中，线性无关的是（C）.(A)104203,,302401；(B)121,,135；(C)111011,,00111a；(D),,1,0,1,22,0,2,41,1,1,1.3.方程组有解的充分必要条件；例1n元线性方程组Axb有解的充分必要条件是)()(bArAr.天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题4例2n元线性方程组Axb有唯一解的充分必要条件是nbArAr)()(例3n元线性方程组Axb有无穷多组解的充分必要条件是()(|)rrnAAb.例4n元齐次线性方程组Ax0仅有零解的充分必要条件是()rnA.例5n元齐次线性方程组Ax0有无穷多解的充分必要条件是nAr)(.4.特征值的性质；要点：1.上（下）三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素2.nA213.nnnaaaAtr221121)(4.若A的特征值是，则)(A的特征值是)(。例1.设3是方阵A的特征值，则矩阵2A具有特征值为（D）.(A)10；(B)3；(C)5；(D)6.例2.设3是方阵A的特征值，则矩阵EAA322具有特征值为（D）.(A)10；(B)3；(C)5；(D)6.例3矩阵135022003A的特征值为_____1,2,3________.例3.设A为n阶方阵，则(C).(A)A的全部特征向量构成向量空间；(B)A有n个线性无关的特征向量；(C)A的全部特征值的和为tr()A；(D)A的全部特征值的积为tr()A.例4矩阵11113111bA的特征值可能是（A）.(A)1，4，0；(B)1，3，0；(C)2，4，0；(D)2，4，1.5.相似矩阵性质要点：1.如果BA~,CB~,则C~A2.如果BA~,则BA，A和B可逆性相同3.如果BA~,则A和B具有相同的特征多项式和特征值，具有相同的迹天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题54.如果BA~,则-1-1~BA，TTBA~5.kEkEEE~,~例1设A、B、C为n阶方阵，~AB，~BC，则A、C的关系不正确的是(D).(A)~AC；(B)AC；(C)CA；(D)AC.例2.与矩阵1203A不相似的矩阵是（C）.(A)1023；(B)3501；(C)1133；(D)2112.三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。例1.已知，123130052B，求：(1)TAB；(2)3A.解：(1)101110212214235121133253028920TAB；(2)3101(3)27214270.3325AA四、（10分）求解矩阵方程。例1.解矩阵方程AXB，其中121342541A，012123TB.解：121011210110010342120211102111|5412301462200155AB100101001002044010220015500155，故A可逆，且1102255XAB.五、（10分）求非齐次线性方程组的通解（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题6例1.求非齐次线性方程组1234123412341234112033xxxxxxxxxxxxxxxx的通解（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对增广矩阵施行初等行变换：11111111111111101110(|)11120000111113300000Ab（3分）10001011010001100000（5分）对应齐次线性方程组的一个基础解系为0,1,1,0Tξ（7分），所求方程组的一个特解为1,1,0,1T（9分），于是所求方程组的通解为kxξη，kR.（10分）例2.求线性方程组1234123424522454xxxxxxxx的通解.（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）.解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得112451124511203(|)224540003600012Ab对应齐次线性方程组的一个基础解系为12,1,1,0,02,0,1,0TTξξ，所求方程组的一个特解为3,0,0,2T，于是所求所求方程组的通解为1122kkxξξη，12,kkR.六、（10分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。要点：1.所给的向量是列向量，直接使用初等行变换2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换例1.求向量组1(1,2,3,1)，2(3,1,5,3)，3(2,1,2,2)，天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题74(1,3,1,1)的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对1234TTTTA进行初等行变换，得1321132113211012211305550111011135210444000000001321000000000000（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为12,αα，（8分）且有312ααα，4122ααα(10分)例2.求向量组1(1,2,1)T，2(1,2,1)T，3(2,1,8)T，4(3,1,7)T的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.解：对1234A进行初等行变换，得1123112311231101221100550011(3)0011118700101000000000分（5分）于是向量组的秩为2，（6分）它的一个极大无关组为13,α，（8分）且有21α，413α(10分).七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化.（不需要单位化，只包含两个或者三个向量）例1用施密特正交化方法把线性无关的向量组12110,100，3111正交化.解：取11=（2分）天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题821221110(,)=1(,)0（4分）（6分）3132331211220(,)(,)=0(,)(,)1（8分）（10分）例2用施密特正交化方法把线性无关的向量组1(1,0,0,0)T，2(1,1,0,0)T3(1,1,1,0)T正交化.解：令11(1,0,0,0)T（2分）2122111110101(,)1000(,)1000