太原理工大学11级硕士研究生数值分析期末考试题

太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题111级（12/07/03）一、基础题(40分)(一)、单项选择(2×5=10分)1、求解常微分方程的预估—校正法的局部截断误差为()。(A)𝑂(ℎ2)(B)𝑂(ℎ3)(C)𝑂(ℎ4)(D)𝑜(ℎ3)2、过(0，1)、(2，4)、(3，1)的分段线性插值函数𝑃(𝑥)为()。(A)𝑃(𝑥)={32𝑥+1，0≤𝑥≤2−3𝑥+10，2𝑥≤3(B)𝑃(𝑥)={32𝑥+1，0≤𝑥≤2−3𝑥−10，2𝑥≤3(C)𝑃(𝑥)={32𝑥−1，0≤𝑥≤2−3𝑥+10，2𝑥≤3(D)𝑃(𝑥)={32𝑥+1，0≤𝑥≤2−𝑥+4，2𝑥≤33、用一般迭代格式𝑥(𝑘+1)=𝑀𝑥(𝑘)+𝑓求Ax=b的解，则当()时迭代收敛。(A)A对称正定(B)A对角占优(C)M对角占优(D)𝜌(𝑀)14、设方程组Ax=b的系数矩阵𝐴=(1−2−11)，若用雅可比和高斯—赛德尔法求解，则下列说法正确的是()。(A)两者都收敛(B)两者都发散(C)前者收敛，后者发散(D)前者发散，后者收敛5、QR方法是求实矩阵()特征值的方法。(A)按模最大(B)按模最小(C)所有的(D)任意一个(二)填空题(2×15=30分)1、已知𝑥𝑘(k=0,1，…，n)是互异节点，𝑙𝑘(𝑥)是对应节点的Lagrange插值基函数，𝑃(𝑥)是一个首项系数为1的n+1次多项式，则：𝑃(𝑥)−∑𝑃(𝑥𝑘)𝑛𝑘=0𝑙𝑘(𝑥)=______________，拉格朗日插值基函数在节点上的取值是______________。2、设分段多项式𝑆(𝑥)={𝑥3+𝑥2，0𝑥≤12𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，1≤𝑥≤3是以0，2，3为节点的三次样条函数。则a=____________，b=____________，c=____________。3、设𝑓(𝑥)=𝑥2，则𝑓(𝑥)关于节点𝑥0=0，𝑥1=1，𝑥2=2的二阶向前差分为_________。太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题24、5个节点的牛顿—科特斯求积公式的代数精度为________，5个节点的求积公式最高代数精度为________。5、设(20𝑎02𝑎𝑎𝑎2)，则a的取值范围为________A可分解为A=LLT，且当L满足________，分解是唯一的。6、设{Tn(x)}0∞是切比雪夫正交多项式系，则{Tn(x−1)}0∞的正交区间为________，它的权函数为______________。7、给定方程组{𝑥1+𝑎𝑥2=𝑏1𝑎𝑥1+𝑥2=𝑏2，𝑎为实数，则当𝑎满足_________且0𝜔2时，SOR迭代法收敛。8、设常微分方程初值问题{𝑦′=𝑓(𝑥，𝑦)𝑦(𝑥0)=𝑦0，𝑥0≤𝑥≤𝑋数值解法单步法的一个一般形式𝑦𝑛+1=𝑦𝑛+ℎ𝜑(𝑥𝑛，𝑦𝑛，ℎ)，n=0,1,…,N-1，则该解法在节点𝑥𝑛+1处的整体截断误差表示式是𝑒𝑛+1=___________________，局部截断误差表示式是____________________。二、简答题(10×3=30分)1、对于积分∫𝑓(𝑥)d𝑥20，若取节点𝑥0=0.5，𝑥1=1，𝑥2=1.5，试推导一个插值型求积公式，并求出其代数精度。2、已知y=𝑓(𝑥)的函数表：𝑥013𝑓(𝑥)012(1)试求𝑓(𝑥)在[0，4]上的Hermite插值多项式𝐻(𝑥)，使其满足条件：𝐻(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘)，k=0，1，2，𝐻′(𝑥1)=12(2)写出其余项𝑅(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝐻(𝑥)的表达式(导数型)。3、用二步法𝑦𝑛+1=𝑦𝑛+ℎ2[𝛼𝑓(𝑥𝑛−1,𝑦𝑛−1)+𝛽𝑓(𝑥𝑛,𝑦𝑛)]求解一阶常微分方程初值问题{𝑦′=𝑓(𝑥，𝑦)𝑦(𝑥0)=𝑦0，问：如何选择𝛼、𝛽的值，才能使该方法的阶数尽可能高？写出此时的局部截断误差主项。三、计算题(15×2=30分)太原理工大学04级～12级硕士研究生数值分析期末考试题31、(1)设{𝜑0(𝑥)，𝜑1(𝑥)，𝜑2(𝑥)}是区间[-1，1]上权函数为𝜌(𝑥)=𝑥2的最高项系数为1的正交多项式组，其中𝜑0(𝑥)=1，𝜑1(𝑥)=x，求𝜑2(𝑥)。(2)利用{𝜑0(𝑥)，𝜑1(𝑥)，𝜑2(𝑥)}求函数𝑓(𝑥)=|𝑥|在[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式。2、已知求解方程组Ax=b的分量迭代格式：𝑥𝑖(𝑘+1)=𝑥𝑖(𝑘)+𝜔𝑎𝑖𝑖(𝑏𝑗−∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗(𝑘)𝑛𝑗=1)，𝑖=1，2，…，𝑛；𝑘=0，1，2，…(1)试求出矩阵格式及迭代矩阵。(2)证明当A为严格对角占优矩阵，𝜔=12时，该迭代格式收敛。