学程考研数学辅导多重积分的坐标变换

多重积分的坐标变换（一）多重积分的坐标变换公式1、二重积分的情形。在多重积分的学习复习中，很多人只会求积分区域为一个以原点为圆心的圆形区域或者球形区域，对于椭圆区域、椭球区域、正方形区域、三角区域等的计算并不理解。下面我们从最简单的开始，逐步解决大家的问题。大家注意到同济六版的高数课本下册第149页的定理3给出了一个坐标变换公式，实际上这个公式有一种更广泛的情形，陈述如下：设二元函数(,)fxy在区域D连续，则在计算二重积分(,)Dfxyd时，可以利用坐标变换的方式进行计算。设坐标变换为(,)(,)xxuvyyuv，并且，(,)xxuv和(,)yyuv都存在反函数(,)(,)uuxyvvxy，则原来的二重积分可以化为'(,)((,),(,))'DDfxydfxuvyuvJd，其中'D是区域D进行坐标变换(,)(,)xxuvyyuv之后得到的区域，J是雅各比行列式，即(,)(,)xxxyuvJyyuvuv。证明在这里省略。对于一般的极坐标变换cossinxryr，雅各比行列式恰好为r，此时上述公式就是149页的定理3。2、三重积分的情形和二重积分类似地，三重积分的坐标变换公式我们总结如下，仍然不给出证明，其中所陈述的部分条件已经超纲，不需要我们掌握其来源，对于下述的条件我们在一般遇到的题目中直接承认即可。设三元函数(,,)fxyz在区域D连续，则在计算三重积分(,,)Dfxyzdxdydz时，可以利用坐标变换的方式进行计算。设坐标变换为(,,)(,,)(,,)xxuvwyyuvwzzuvw，并且，(,,)xxuvw、(,.)yyuvw和(,,)zzuvw都存在反函数(,,)(,,)(,,)uuxyzvvxyzwwxyz，则原来的三重积分可以化为'(,,)((,,),(,,),(,,))DDfxyzdxdydzfxuvwyuvwzuvwJdudvdw，其中'D是区域D进行坐标变换(,,)(,,)(,,)xxuvwyyuvwzzuvw之后得到的区域，J是雅各比行列式，即(,,)(,,)xxxuvwxyzyyyJuvwuvwzzzuvw证明从略。根据上面比的公式再做柱坐标变换和球坐标变换的时候多出来的一部分就是那个雅各比行列式。（二）多重积分坐标变换后的新区域的确定这里我们只讨论二重积分的情形，三重积分的情形是类似的。下面我们看两类常考到的区域。例题：把积分(,)Dfxydxdy化成极坐标形式的二次积分，其中积分区域D分别为222222222(1){(,)|}(0)(2){(,)|2}(3){(,)|}(0)(4){(,)|01,01}xyxyaaxyxyxxyaxybabxyyxx解：（1）最一般的情形，作极坐标变换cossinxryr，原来的二重积分化为200(cos,sin)rdfrrrdr。（2）化成圆形区域22(1)1xy，作极坐标变换1cossinxryr，原来的二重积分化为2100(1cos,sin)dfrrrdr。（3）这是一个圆环区域，半径变化，作极坐标变换cossinxryr，原来的二重积分化为20(cos,sin)badfrrrdr。（4）作极坐标变换cossinxryr，由区域D是由x轴、y轴以及直线x+y=1确定。两个关系式可得0sin1cos0cos1rrr所以由三角形区域可知02，由两个关系式可得11sincoscosr，进一步，原来的二重积分化为12cos10sincos(cos,sin)dfrrrdr。