地球流体动力学复习总结

1主要概念：1．位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律位势涡度：在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称为位势涡度，且定义为)2(。位势涡度的引入有两种方法：A．可以从涡度方程出发涡度方程：puudtdaaa影响涡度变化的因素可概括为：涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用。位势涡度方程：)(}{][)(3pdtdaa因此，当满足以下三个条件时：1.0摩擦可忽略2.是守恒量，03.仅是p,的函数，0)(p，或流体是正压的则有0])[(adtd------------------------Ertel涡旋定理（位涡守恒定理），位涡是)(a。浅水中引入守恒量HhzB则HfHhzkfB)()()(故浅水位涡守恒0)(HfdtdB.从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒。2．地转风和热成风地转风：在大尺度旋转流体运动中，其Rossby数的量级O(ε)≤110，在旋转流体水平运动过程中若略去O(110)以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的运动即为地转运动，此时的风为地转风。风沿等压线的方向，在北半球高压在右。2pfkvg1热成风：地转风随高度的变化或为两个等压面之间地转风的差kTpfRpvpg又：yzu00，xzv00热成风3．Taylor-proudman定理在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿的方向上将不改变。也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴的方向，即运动将趋于两维化。4．地球上流体大尺度运动大尺度运动的定义：120fLULUR物理意义：流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几乎感不到地球的自转。也就是说，大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一个小偏差。→惯性力/科氏力→旋转时间尺度/平流时间尺度→相对涡度/牵连涡度→相对速度/牵连速度≦1Rossby数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。5．Brunt-Vaisala频率地球流体是具有层结结构的层结流体。由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。因此，流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振荡运动，又称为浮力振荡，其频率为21zzN，称作Brunt-Vasala频率。其中，z为高度坐标，θ是位温。Brunt-Vasala频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据。0dzd时，层结是稳定的；当0dzd时，层结是不稳定的。对于海洋，流体元在小位移中所受的压缩性影响可以忽略，其表达式可简化为321zgN当0z时为稳定层结，当0z时，为不稳定层结。6．均质流体和层结流体（三种情况下）的准地转位势涡度方程均质流体的准地转涡度方程：）（yvxuyvxutdtd11000000层结流体的准地转位势涡度方程：)(1}{0isswzydtd大气中天气尺度运动的准地转位涡方程：)(1)](1[000szszydtdssss在无加热时，准地转涡度方程为：0)](1[000szydtdss相应的流函数形式位涡方程：0])(1][[2222yzszyxxyyxtss海洋中天气尺度的准地转位涡方程：swdtd100)()]([00szszydtds0)]([000szydtd无加热0])1(][[4yzszxyyxt无加热7．Rossby变形半径200cfcR，是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数。（1）Poincare波：在旋转特征周期12这一时间尺度上，波速为00gHc的浅水重力波传播的特征距离。（2）Kelvin波：在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小。振幅4衰减的e-折尺度为200cfcR。可将Rossby变形半径理解为一个特征距离尺度，在这个距离尺度上，科氏力使自由面变形的趋势与重力（或压强梯度力）使自由面复原的趋势相平衡。（3）准地转位涡守恒方程：0}{00BFdtd准地转近似下的无量纲的位涡为：BgF0002和0F两项比较看2)(RLF：1F，的变化可以忽略，比Rossby半径小的水平尺度运动可视为刚盖运动（自由面起伏对大尺度运动的高度贡献不大）。1F，2项可忽略，比Rossby半径大的水平尺度运动)1(o量级上的相对涡度是次要的。因此，Rossby波半径又可解释为这样一个特征距离尺度，在此距离上，相对涡度和表面高度起伏对位势涡度有同等重要的贡献。8．Rossby数，Ekman数，雷诺数，Froude数（旋转/层结）fLULUR20→惯性力/科氏力→旋转时间尺度/平流时间尺度→相对涡度/牵连涡度→相对速度/牵连速度≦1Rossby数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。Ekman数：fLfULUE2/，表示分子粘性力和科氏力之比的无量纲参数。垂直Ekman数:VVVfDAE(Re)222水平Ekman数:HeHHRfLAE)(222雷诺数:HeALUR/,HA为垂直湍流粘性系数。LKDURvve2)(为垂直涡粘性的雷诺数；vHeKULR)(为水平涡粘性的雷诺数。Froude数（旋转）：定义0*N，FDgLffLUgfULN220，222)(RLgDLfFF是表征运动的水平尺度L相对于Rossby变形半径R的大小的一个参数。5层结：222022)(LLLfDNsDs，021'0)(fDgfDNLsDDL为内Rossby变形半径。其中，'g为简化重力（*'zggssD）9．群速度在简化条件1下，由线性化准地转位涡守恒方程：0][2xFt和波动的表达式)cos(),,(tlykxtyxA可以得到精确到最低阶的Rossby波频散关系：FKk2以及反映振幅变化的方程：02222yAFKlxAFKktA由此可见振幅为的传播速度：kFKFlkcgx222)(，lFKklcgy22jciccgygxg，以速度gc移动的观察者（因为0dtdA）所看到的振幅为常数，将此速度定义为群速度：cKccKcKKkcckkkkg)(（ccg时为频散波）。10．共振三波组对于非线性准地转位涡方程（无量纲）：0)()()(222xxyyxFt120ULRossby波的特征周期远远地小于质点运动的平流时间尺度。令tULtLt~)(10*（t~为新的无量纲时间变量）即ttULt20~1时，t~为无量纲快变量，其特征值10)(L要小些t为无量纲慢变量，其特征值)(UL要大些无量纲位涡方程则要求表示为：6)]()([1)(222yxxyxFt显然非线性项的量纲为：1，是否忽略非线性作用的条件是由决定。求解方法是利用对小参数)1(的摄动展开。令...)~,,(1)~,,(1)~,,(),~,,(2210tyxtyxtyxtyx得：:)()0(10)(002xFt是一个线性方程其解可表示为平面波的线性叠加jjjacos0jjjjjtylxk，Flkkjjjj22:)()1(1略（2。500-2。504）此式说明了第m个波和第n个波相互作用产生了关于1方程的强迫项，此强迫项也是一个周期作用，其波矢为：nmmnKKK；频率nmmnw通过数学处理，可得强迫振荡1的振幅：))((),(21mnmnmnnmnmmnFKKKBaaA明确：mn是方程的固有频率；mn是强迫项的频率；mnK是强迫项的波矢)()(41),(mnnmnmKKZKKkkB这意味着在强迫作用下出现了第三种波动，且满足：Fllkkkknmnmnmmn22)()(FlkkFlkknnnmmmmn2222当mn与mn无限接近时，会出现共振。非线性问题的解（精确到1）：)cos()~(10nmmnat)cos(10nmmna7何时才会发生共振呢？第三个波相nmj则要求：0nmjkkk，0nmjlll，0),(),(),(nnnmmmjjjlklklk即：三个波矢之和为零。第三个条件可写为：0222222FlkkFlkkFlkkjjjnnnmmm我们称满足上述条件的波矢构成共振三波组。11．f平面近似，平面近似f平面近似：运动的经向水平尺度远小于地球半径时,1aL，取0ff，把f作为常数处理，称为f平面近似。平面近似：*00yff，考虑了由于地球的球面性引起的f变化的线性部分，f的变化对0f而言是个小量，但与相对涡度比较已不能忽略。12．球面效应与地形效应等价性（P81）在β—平面模式中，浅水位涡为：其中，DhfyB/*0*0为环境位涡的变化部分。可见，科氏参数随纬度的变化*0y与地形的变化DhfB/*0在位涡动力学中具有精确的动力学等价性。球面效应与地形效应动力学等价性相当于20LU。13．Rossby驻波加上纬向流扰动后，流函数为：),,(ˆtyxyU，Uˆ为无量纲数11ˆU代入准地转无界波动的位涡方程，得：0),(]ˆ[]][ˆ[22FJUFxFxUt取解的形式为：)cos(tlykxA（无界平面波）该解要成为方程的精确非零解应满足频散关系：8FKUFUcKUFKkx222ˆˆ)ˆ(，当0ˆ2KU从此频散关系我们可以看出：（1）若0当1ˆU西风基本流时若2K，0xc较快波向东传播；若2K，Cx0较慢波向西传播；若2K，0xc驻波，Rossby驻波波长为210**)(2UL当1ˆU东风基本流时，对于任何波动都是向西传播，不可能出现驻波。总之，稳定的Rossby驻波只有在Uˆ与同号时，才会在无界区域内出现，而当Uˆ与反号时，驻波只能在有界的区域即02K时才会出现。14．旋转减弱时间fKDV2。旋转流体受扰动后，如去掉产生扰动的外力，则流体运动要调整到地转平衡。延伸到下垫面附近的流体因受到摩擦力的作用在其附近形成Ekman层，能联将从摩擦不起作用的区域流入Ekman层被摩擦消耗掉，流体运动在下垫面摩擦的作用下减弱，最终达到一种静止状态，称为“旋转减弱”，把摩擦引起的涡度随时间的衰减的时间尺度称为“旋转减弱时间”。旋转衰减的机制（1）从相对涡度方面考虑：当正涡度存在时，下Ekman层将把流体向上抽吸到低压内，上Ekman层则向下抽吸，二者联合效应使涡管以0r的速度被压缩。相对涡度随时间减小。反之