安徽省2013届高三数学一轮复习导数及其应用单元训练

-1-安徽财经大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数()fx的定义域为R，(1)2f，对于任意的xR，()2fx，则不等式()24fxx的解集为()A．(1,1)B．1,C．(,1)D．(,)【答案】B2．220(1(1))axxdx的值是()A．143B．143C．123D．12【答案】A3．dxx22)cos1(=()A．B．2C．2D．2【答案】D4．由曲线3,yxyx围成的封闭图形面积为()A．112B．14C．13D．712【答案】A5．函数cos2yx在点(,0)4处的切线方程是()A．024yxB．440xyC．024yxD．024yx【答案】D6．．曲线2yx与直线1yx及4x所围成的封闭图形的面积为()A．42ln2B．2ln2C．4ln2D．2ln2【答案】A7．一物体运动方程为21tts（其中s单位是米，t单位是秒），那么物体在3秒末的瞬时速度是A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒-2-【答案】C8．若0)32(02dxxxk，则k=()A．1B．0C．0或1D．以上都不对【答案】C9．若函数32()21fxxx，则(1)f()A．1B．1C．7D．7【答案】B10．若()sincosfxx，则'()f等于()A．sinB．cosC．sincosD．2sin【答案】A11．函数1ln()xfxx在（1，1）处的切线方程是()A．1xB．1yxC．1yD．1y【答案】C12．函数3()31fxxx在闭区间[–3，0]上的最大值、最小值分别是()A．1，−1B．1，−17C．3，−17D．9，−197【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知()fx为偶函数，且100()4fxdx，则1010()fxdx_____________．【答案】814．已知函数)(3)(3Raaxxxf，若直线0myx对任意的Rm都不是曲线)(xfy的切线，则a的取值范围为.【答案】13a15．已知1()cosfxx，且1()()nnfxfx(*)nN，则2012()fx．【答案】xsin16．曲线xxy21在1x处切线的斜率是.【答案】1三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知函数323()(2)632fxaxaxx.(1)当2a时，求函数()fx的极小值；(2)试讨论函数()yfx零点的个数.-3-【答案】2()33(2)63(2)(1)fxaxaxaxx,(1)当2a时，201a∴(1)2aff极小值(2)当a=0时，显然f(x)只有一个零点；2()3()(1)fxaxxa当a0时，f(x)在2(,)a，(1,)递减；在2(,1)a递增，2(1)0,()0ffa则f(x)有三个零点当0a2时，f(x)在(,1)，2(,)a递增；在2(1,)a递减，2(1)0,()0ffa则f(x)只有一个零点.当a=2时，f(x)在R上是增函数，(0)30f，∴f(x)只有一个零点当a2时，f(x)在2(,)a，(1,)递减；在2(,1)a递增，2(1)0,()0ffa则f(x)只有一个零点综上所述：当0a时，()fx只有一个零点；当0a时，()fx有三个零点18．如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．(1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；(2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．-4-【答案】(1）如下图，过S作SH⊥RT于H，S△RST=RTSH21．由题意，△RST在月牙形公园里，RT与圆Q只能相切或相离；RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有RT≤4，SH≤2，当且仅当RT切圆Q于P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S△RST=1422=4（km2）．(2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD必须切圆Q于P，再设∠BPA=，则有11π22sin222sin(π2)4(sinsincos)0222ABCDS四边形．令cossinsiny，则)sin(sincoscoscosy1coscos22．若0y，1πcos23，，又π03，时，0y，ππ32，时，0y，函数cossinsiny在π3处取到极大值也是最大值，故π3时，场地面积取得最大值为33（km2）．19．外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得加工费近似地为1ln(21)2x万美元，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中(0,1)m为-5-该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为1()ln(21)2fxxmx万美元.(Ⅰ）若美元贬值指数1200m，为确保实际所得加工费随x的增加而增加，加工产品订单的金额x应在什么范围内？(Ⅱ）若加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为120px万美元，已知加工生产能力为[10,20]x（其中x为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m为何范围时，加工生产将不会出现亏损（即当[10,20]x时，都有()fxp成立）.【答案】（Ⅰ）由已知1200m，11()ln(21)2200fxxx，其中0x.所以'111992()21200200(21)xfxxx.由'()0fx，即19920x，解得099.5x.即加工产品订单的金额(0,99.5)x（单位：万美元）时，实际所得加工费随x的增加而增加.(Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当[10,20]x时，都有11()ln(21)220fxxmxx.可得1ln(21)202xmx.令ln(21)()2xgxx，[10,20]x.则'22ln(21)21()2xxxgxx22(21)ln(21)2(21)xxxxx.令()2(21)ln(21)hxxxx.则'2()2[2ln(21)(21)]21hxxxx2ln(21)0x.可知()hx在区间[10,20]上单调递减，()hx最小值为(20)4041ln410h，最大值为(10)2021ln210h，所以当[10,20]x时，'()0gx,()gx在区间[10,20]上单调递减,-6-因此minln41()40gx，即ln4114020m.故当美元的贬值指数ln412(0,)40m时，加工生产不会亏损.20．已知a为实数，函数2()(1)()fxxxa．(1)若(1)0f，求函数y()fx在[-1，1]上的最大值和最小值；(2)若函数()fx的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围．【答案】（1）22)(,223xxxxfa，通过列表讨论得2750)31()(,6)1()(minmaxfxffxf(2）3,30,123)(2'aaaxxxf21．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。(1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；(2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【答案】（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx(Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，-7-当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处。22．．计算下列定积分(1）dxxx)sin3(202(2）dxx3329【答案】(1)183(2)29