均差与牛顿插值公式.

12.3均差与牛顿插值公式2.3.1均差及其性质利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.),,1,0)((nkxlk2))(()()(102010xxxxaxxaaxPn),()(10nnxxxxa其中为待定系数，naaa,,10),,1,0()(njfxPjjn确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式:可由个插值条件1n下面我们来确定这些系数的值.3当时，0xx.)(000faxPn当时，1xx.01011xxffa.12010102022xxxxffxxffa依此递推可得到.naa,3当时，2xx21202202102))(()()(fxxxxaxxaaxPn推得推得101101)()(fxxaaxPn由，由为了得到系数ak的一般表达式，我们引入了均差定义。4称为函数关于点的一阶均差.000)()(],[xxxfxfxxfkkk)(xfkxx,0110010],[],[],,[xxxxfxxfxxxfkkk称为的二阶均差.)(xf定义显然，二阶均差为一阶均差的均差。511102010],,[],,,[],,[kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf一般地，称为的阶均差k)(xf（均差也称为差商）.6均差的基本性质：1°均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.].,,,[],,,,[],,[0120110xxxfxxxxfxxxfkkk即72°.],,[],,[],,[010110xxxxfxxfxxxfkkkk11102010],,[],,,[],,[kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf证明：10kxx01xxk均差的表达到底有没有规律?83°若在上存在阶导数，且节点)(xf],[ban],,[,,,10baxxxn].,[,!)(],,[)(10banfxxxfnn则阶均差与导数关系如下：n9作辅助函数)(t0)(0)(xxi1,1,0ni显然共n+1个零点。)('t)(''t)()(tn),(10nxx由Roll定理有有n个零点，有n－1个零点，有一个零点。，则有令该零点为)())(](,,,[)()()(1101101nnnxtxtxtxxxxftNtft证明：100!],,,[)()()(110)(1)()(nxxxxfNfnnnnn!)(],,,[)(110nfxxxxfnn!)(],,,[)(110nfxxxxfnnn因为上式对任意],[bax成立，取得到nxx11],,,,[],,,[],,[],[)(],,,[],,[],[)(],,[],[)(],[)()()(4321043214324344321032132332102122101100xxxxxfxxxxfxxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxfxkk四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差均差的计算:均差表12例：设f(x)＝x7+5x3+1，求均差f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21,…,27]，f[20,21,…,28].解：f(20)=7,f(21)=169,f(22)=16705162716922)2()2(]2,2[010110fff826821691670522)2()2(]2,2[121221fff1!7!7!7)(]2,,2,2,2[)7(7210ff0!80!8)(]2,,2,2,2[)8(8210ff27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[021021210fff132.3.2牛顿插值公式根据均差定义，把看成上一点，x],[ba),](,[)()(000xxxxfxfxf),](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf).](,,,,[],,,[],,,[101010nnnnxxxxxxfxxxfxxxf可得14只要把后一式代入前一式，就得到)](,[)()(0100xxxxfxfxf))(](,,[10210xxxxxxxf),()(xRxNnn)](,[)()(0100xxxxfxfxNn))(](,,[10210xxxxxxxf其中)()](,,,[1010nnxxxxxxxf)(],,,[10xxxxfnn),()](,,,[1010nnxxxxxxxf),(],,,[)()()(10xxxxfxNxfxRnnnn返回到牛顿前插公式1是我们希望的形式2过n+1个点3次数不超过n次15显然，由上面式子确定的多项式满足插值条件，)(xNn且次数不超过，n).,,1,0(],,,[0nkxxfakk称为牛顿（Newton）均差插值多项式.)(xNn系数就是均差前面表中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.ka其系数为16但这里的余项更有一般性，它在是由离散点给出的情形或导数不存在时也是适用的.ff为插值余项.)(xRn),(],,,[)()()(10xxxxfxNxfxRnnnn思考:由相同的N+1个节点得到的Ln(x)和Nn(x)是不是相同的?17实际上由插值多项式的唯一性知)()(xNxLnn因此，它们对应的余项也是相等的，即)!1()(],,,,[)1(10nfxxxxfnn)!1()(],,,,[)1(110nfxxxxfnnn取得到1nxx),()!1()()(],,,,[1)1(110xnfxxxxxfnnnn均差的基本性质3的另一种证明方法:18插值节点的选择：已知f(x)的m个点的值，如果要求不高于n（m）次的牛顿插值多项式，那么如何选取插值节点呢？)())(](,,,[)(],,,[)()()(10010nnnnnnxxxxxxxxxfxxxxfxNxfxR显然，要求不高于n次的牛顿插值多项式，需要n+1个插值节点。为了使插值余项最小，那么选择的插值节点xi应该尽量离插值点x近。因此，我们先将所有的点按离插值点x的距离从小到大排序，然后选择前n+1个作为插值节点。190.000120.031260.228630.524931.515330.031340.213000.433481.384100.197330.358931.275730.280001.186001.11600五阶均差四阶均差三阶均差二阶均差一阶均差首先根据给定函数表造出均差表.给出的函数表（见表2-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算的近似值.)596.0(f)(xf25382.105.102652.190.088811.080.069675.065.057815.055.040.00.410752表2)f(xxkk例20)55.0)(4.0(28.0)4.0(116.141075.0)(4xxxxN)65.0)(55.0)(4.0(19733.0xxx于是,63192.0)596.0()596.0(4Nf),8.0)(65.0)(55.0)(4.0(03134.0xxxx按牛顿插值公式，将数据代入选插值节点,选择前五个21截断误差.1063.3)596.0(],,[)(95504xxfxR这说明截断误差很小，可忽略不计.],,,[40xxxf注意，这里],,[50xxf用近似。22带重节点的牛顿插值多项式（补充）定义：作插值多项式时，若还知道节点的导数值，该节点被称为重节点，若还知道它的k阶导数值则称为K+1重节点，之所以称为重节点是因为该节点要连续占几个编号，K+1重节点占K+1个编号。牛顿插值多项式优点之一就是可以带重节点。带重节点的牛顿插值多项式的生成表和不带重节点的类似，不同之处在例子中具体说明。23],[lim],[)1(00000)1(0xxfxxfxxdef)()()(lim0'0)1(00)1(00)1(0xfxxxfxfxx],,,,[],,,,,[1010xxxxfdxdxxxxxfnn!)(],,,[0)(1000nxfxxxfnn个定义（重节点均差）:类似的有（1）（2）重节点均差是通过均差极限定义的，如24)(4xN)5.1(4N例已知并计算的值。2)1(f2)1('f2)2(f3)2('f求f(x)的一不高于4次的牛顿插值多项式,1x2x解本例中和都是2重节点，其编号分别为1、2和3、4.作带重节点的牛顿均差表（数字为红色者是已知导数值，用它们直接代替一阶均差值）。ixiyi一阶二阶三阶四阶0011122123224221)0(f12031-23-1.553.2525)2()1(25.3)1(5.1)1(1)(224xxxxxxxxxN087125.2)5.0(5.05.125.35.05.15.15.05.15.11)5.1(224N由差商表计算结果知:26)(4xN例已知1)0('f2)0(''f3)0('''f3)1(f求f(x)的一不高于4次的牛顿插值多项式.解本例中x=0是4重节点，其编号分别为0、1、2和3.作带重节点的牛顿差商表。ixiyi一阶二阶三阶四阶0011011/1!=12011/1!=12/2!=13011/1!=12/2!=13/3!=0.5413210-0.51)0(f2743245.05.01)(xxxxxN由差商表计算结果知:28插值余项更有一般性，它函数是由离散点给出的情形或函数（高阶）导数不存在时也是适用的.虽然不对称，但有递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.牛顿均差插值多项式的优点：运算量比拉格朗日小虽然不对称，但公式结构清晰，便于程序设计可以带重节点思考:能否避免龙格现象?