定积分在经济学中的应用论文

定积分在经济学中的应用国会2班李怡雯1420110513内容摘要：一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。关键词：定积分微分经济学边际函数投资1.定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数P(x)在区间I上可导，其边际函数为P′(x)，[a,x]∈I，则总有函数()()()xaPxPuduPa当x从a变到b时，P(x)的改变量为()()()xaPPxPaPudu将x改为产量Q，且a=0时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得0()()(0)QCQCxdxC其中即为(0)C固定成本，0()QCxdx为可变成本．0()()QRQRxdx（因为(0)0R）0()()(0)QLQLxdxC例1。已知某公司独家生产某产品，销售Q单位商品时，边际收入函数为2()()abRQcQb（元/单位）（a0,b0,c0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解：(1)总收入函数为0()()QRQRxdx=20[]Qabcdxxb=0Qabxb=abacQQb(2)设产品的价格为P，则abRPQacQQb，得需求函数为()aabaPccQQQbQb2.利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量,则直接采用定积分来解决。例2已知某产品总产量的变化率为ttQ1240)((件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为dttQQ05)(650)150200()600400(|)640()1220(1052105ttdtt(件)3.利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为10000c元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解总成本函数为)0()2100()(0cdttxcx=10001002xx总收益函数为R(x)=500x总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=10004002xxL=400-2x令L=0,得x=200因为L(200)0所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400200-2200-1000=39000(元)。4�利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q=f(P)与Q=g(P)都是单调函数,所以分别存在反函数P=)(1Qf与P=)(1Qg,此时函数P=)(1Qf也称为需求函数,而P=)(1Qg也称为供给函数。需求曲线(函数)P=)(1Qf与供给曲线(函数)P=)(1Qg的交点A(P*,Q*)称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P*称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡价格)购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P=)(1Qf购买某商品并情愿支付,Q*为均衡商品量,则在[Q,Q+Q]内消费者消费量近似为QQf)(1,故消费者的总消费量为dQQfQ)(*01,它是需求曲线P=)(1Qf在Q与Q*之间的曲边梯形OQ*1Ap的面积,如图如果商品是以均衡价格P*出售,那么消费者实际销售量为P*Q*,因此,消费者剩余为**0)(*QpdQQfQ它是曲边三角形1*APP的面积。如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的以较低的售价)(1QgP出售该商品,由此所获得的额外收入,称它为生产者剩余。同理分析可知:P*Q*是生产者实际出售商品的收入总额,dQQgQ*01)(是生产者按原计划以较低价格售出商品所获得的收入总额,故生产者剩余为dQQgQPQ)(*01**它是曲边三角形*0App的面积。例4.设某产品的需求函数是P=Q2.030。如果价格固定在每件10元,试计算消费者剩余。解已知需求函数P=QQf2.030)(1,首先求出对应于P*=10的Q*值,令Q2.030=10,得Q*=10000。于是消费者剩余为**01)(*QPdQQfQ=1000010)2.030(10000dQQ=(30Q-)15223Q100000|100000=66666.67(元)。例5.设需求函数Q＝8-3p，供给函数Q＝922p，求消费者剩余和生产者剩余.解:首先求出均衡价格与供需量.83922pQpQ得0p＝15，0Q＝3.令8-3p＝0，得P1＝24，令922p＝0，得'0p＝9，代入(3)、(4)式得CS＝224152427(8)(8)15362ppdpp，PS＝21591599()()992242pppdp.5.利用定积分计算资本现值和投资对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在［0，T］这一段时间内的收入流的变化率为f(t)，连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间［0，T］平均分割成长度为Δt的小区间.当Δt很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在t与t+Δt之间收入的近似值为f(t)Δt，相应收入的现值为f(t)e-rtΔt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入的现值为现值＝0Trtdtf(t)e，类似地可求得总收入的终值为终值＝()0TTttdtf(t)e.例6现对某企业给予一笔投资A,经测算,该企业在T年中可以按每年a元的均匀收入率获得收入,若年利润为r,试求:(1)该投资的纯收入贴现值;(2)收回该笔投资的时间为多少?解(1)求投资纯收入的贴现值:因收入率为a,年利润为r,故投资后的T年中获总收入的现值为Y=)1(0rtTrteradtae从而投资所获得的纯收入的贴现值为AeraAyRrT)1(�(2)求收回投资的时间:收回投资,即为总收入的现值等于投资。由AerarT)1(得T=Araarln1即收回投资的时间为T=Araarln1总结定积分在数学中占重要地位。同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分,定积分还有很多在经济学中的应用之处。只要勤于学习,善于思考,勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力,同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。