定积分的方法总结

定积分的方法总结定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1、求sinbaxdx，（ba）解:因为函数sinx在],[ba上连续，所以函数sinx在],[ba上可积，采用特殊的方法作积分和．取hnab，将],[ba等分成n个小区间,分点坐标依次为bnhahahaa2取k是小区间的右端点，即kakh，于是，0011sinlimsin()limsin()nnbahhkkxdxakhhhakh，其中，111sin()2sin()sin()22sin()2nnkkhakhakhh=112121[cos()cos()]222sin()2nkkkahahh113352121[cos()cos()cos()cos()cos()cos()]2222222sin()2kkahahahahahahh=)()21cos()21cos()2sin(21bnhahbhah＋］＋－＋［将此结果代入上式之中，有.coscos)2cos()2cos()2/sin(2/limsin0bahbhahhxdxhba］＋＋［从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．变式：求33322321lim(2)nnnnn．分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解：将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为1ixn，然后把2111nnn的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)nnnnn=333112lim()nnnnnn=13034xdx．二、微积分基本定理法例2、计算dxx0sin1．解：dxx0sin102cos2sindxxx=220)2cos2(sin)2sin2(cosdxxxdxxx=2022(sincos)2(cossin)2222xxxx=)12(4．练习：计算：(1)xdxeln1．(2)xdxx3cos0解:(1)11ln(ln)eexdxxxxdx()(01)1ee．(2)xxdxdxx3sin313cos00xdxxx3sin3sin3100011(sin3cos3)33xxx92．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．一般地：vduuvudvbababa)(三、几何意义法例3、求定积分222(1)4xdx的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：2222221(1)(4)42xdxxdx,而222(4)xdx表示圆x2＋y2＝4在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S半圆，又在x轴上方．所以222(1)4xdx＝．评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4、求下列定积分：⑴44tanxdx；⑵22sin1xxdxx．分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tanx及22sin1xxx是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tanxdx＝0；⑵22sin1xxdxx＝0．评注：一般地，若f(x)在[－a，a]上连续，则有性质：①当f(x)为偶函数时，()aafxdx＝20()afxdx；②当f(x)为奇函数时，()aafxdx＝0练习：计算：(1)6sinxxdx．(0)(2)1221(4)xxdx(8)．五、定积分换元法定理：假设(1)函数)(xf在区间],[ba上连续；(2)函数)(tx在区间],[上有连续且不变号的导数；(3)当t在],[变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且ba)(,)(，则有：dtttfdxxfba)()()(．(1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(tx应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例5、求301dxxx解：令1xt，则21(0)xtt，2dxtdt，当0x时，1t；当3x时，2t。所以301dxxx=22112ttdtt=23112(tt)3=83。练习：计算:(1)adxxa022)0(a．(2)205sincosxdxx．解:(1)令taxsin，则tdtadxcos．当0x时，0t；当ax时，2t．故adxxa022dttata20coscosdtta)2cos1(22022022sin212tta42a.显然，这个定积分的值就是圆222ayx在第一象限那部分的面积．(2)解法一令xtcos，则xdxdtsin．当0x时，1t；当2x时，0t，于是6161sincos016501205tdttxdxx．解法二:也可以不明显地写出新变量t，这样定积分的上、下限也不要改变．即xdxxdxxcoscossincos20520561610cos61206x．作业：1.求下列定积分:(1)220sin2xdx;(2)201sin2xdx;(3)211(sin2)21xdxx;(4)22282xdx2.求下列定积分(1)xdxxsincos2π03，(2)dxx2022，(3)51221xdxx。答案:(1)14(2)4(3)2833.利用奇偶性计算下列定积分。（1）4sinxxdx，（2）4224cosd，（3）325425sin21xxdxxx。答案:2（1）0，（2）32，（3）0，