实变函数练习题

设.2.1,2,1nnAn，则nnAlim2,0。德摩根公式为（1）CCAA)((2)CCAA)(。康托尔三分集P，实数集R，n维欧几里得空间nR都是基数为C的集合。设E是2R中函数0,00,1cosxxxy的图形上的点组成的集合，则E}11),0{(yyE，0E。若),(是直线上开集G的一个构成区间，则),(满足GG不属于，而且端点),(。完备集指的是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集。L外测度区别于J外测度的性质为无限可列可加性。G型集的定义为设集合G可表示为一列开集}{iG之交集1iiGG。若0ffmEn不收敛于，则说)(xfn在E上几乎处处收敛于f。若Exxfxfn),()(，则)(xfn的子列)(xfjn使得在E上fea收敛于..。设.2.1,nnAn，则nnAlim。伯恩斯坦定理为设A,B是两个非空集合，如果A对等于B的一个子集，B又对等于A的一个子集，那么A对等于B。正整数集，有理数集，可数集的并都是可数集合。设E是2R中函数0,00,1sinxxxy的图形上的点组成的集合，则E}11),0{(yyE，0E。若对任一点集T都有)(*)(**cETmETmTm，则称集合E可测。L外测度区别于J外测度的性质为无限可列可加性。如果0P的任一邻域内都有无穷多个属于E的点，则称点0P为E的聚点。nnAlim的定义为对集列,,,21nAAA那种除有限个下标外，属于集列中每个集合的元素全体所组成的集合。（0，1）上全体有理点P构成的点集的基数为a。直线上的开集的构造为有限个或可数个互不相交的构成区间的和集。R积分的缺陷为（1）R积分与极限可交换的条件太严（2）积分运算不完全是微分运算的逆运算。直线上开集的构造定理为直线上任一个非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的和集。叶果洛夫定理为设)(Em，}{nf是E上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数f的可测函数，则对任意0，存在子集EE,使}{nf在E上一致收敛，且)\(EEm。)()(xfxfn的定义为设}{nf是qRE上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上a.e.有限的可测函数)(xf满足下列关系：对任意0有0][limffmEnn则称函数列}{nf依测度收敛于f。命题在集合E上几乎处处成立0)\(,111EEmEEE上处处成立且在若命题在集合E上“基本上”成立)\(,,0EEmEEE上成立且在使函数列)(xfn在集合E上..ea收敛于)(xf)\(E}{f,,0nEEmEE上一致收敛，且在使集合E上的简单函数的定义E表示为有限个互不相交的可测集kEEE,,2,1，而且在每个iE上)(x取非负常数值ic，也就是说)()(xcxIEi函数列)(xfn在集合E上依测度收敛与几乎处处收敛的关系书上的两个定理两个例题归纳康托集P的特征(1)P是完备集(2)P没有内点(3)P\1,0是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1(4)P的测度为0(5)P的基数是c勒贝格积分与黎曼积分的关系是什么？（没讲第五节的）勒贝格积分是黎曼积分的推广，对于非负函数而言勒贝格积分也是黎曼积分的推广，在一班情况下勒贝格积分并不是R反常积分的推广，因为勒贝格积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。简述狄里克雷函数的定义，以及它在实变函数中的作用QxQxcxD10)(，，，在闭区间1,0上狄利克雷函数是简单函数，即使可测的非连续的函数，在任何闭区间ba,上（L）badxxf0)(，即在1R上的L积分为零。若A，B可测，BA且BA，则mBmA（错）设E为点集，EP，则P是E的外点（错）点集,1,,21,1nE是闭集（错）任意多个闭集的并集是闭集。（错）若nRE，满足Em*，则E为无限集合。（对）勒贝格测度是具有无限可加性的测度（错）设E为点集，EP，则P是E的内点（错）点集,1,,2,1nE是闭集（错）任意多个开集的交集是开集（错）有界函数必是有限函数（对）开集的余集为闭集（对）设M是3R空间中以有理点（即坐标都是有理数），有理数为半径的球的全体，证明M为可数集证明：任意M中的圆，由三个独立记号决定：（x,y,r）,其中（x,y）是圆心的坐标，r是圆半径，x,y各自跑遍有理数，而r跑遍大于0的有理数，因而都是可数集，所以aM，即M为可数集。设P是康托集，PxxPxxxf1,0,),1ln()(23求10)()(dxxfL解：令G=P1,0,且0mP3131)()()()()(0)()()()()()(1031021,0222210xdxxRdxxLdxxLdxxLdxxLdxxfLdxxfLdxxfLPGGPG证明集合E可测的充要条件为，对任意EA，CEB，总有BmAmBAm)(证明：必要性取BAT,则BETAETC,,所以BmAmETmETmTmBAmC**)(*)(**)(*充分性对于任意T，令CETBETA,,则TBAEBEA且,,,因此)(*)(***)(**CETmETmBmAmBAmTm设函数)(xf在Cantor集0P中点x上取值为3x，而在0P的余集中长为n31的构成区间上取值为),2,1(,61nn，求10)()(dxxfL解：将闭区间1,0分为两两不相交的集合：210,,GGP其中0P为Cantor集，nG是0P的余集中一切长为n31的构成区间（共有12n个）之并。由L积分的可数可加性，并且00mP,可得1612191326161061)()()()()()()(111111100010nnnnnnnnnnGnPnGPGPmGdxdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfLnnnn证明点集F为闭集的充要条件为FF证：FFFFFFFFFFFF''_,为闭集且