实变函数考试题

实变函数考试题一．填空（每空2分，共20分）1.De.Morgan对偶律是指1_______ciiA.3.设22110,,0,212kkAAkk,则lim_____kkA,lim______kkA.4.若nAR是可数集,则()______mA;若I是nR中的开矩体,则mI______.5.若()fx是nER上几乎处处有限的可测函数,则对任给的0,存在E中的闭集F,\mEF,使得___________________.6.设集合,,ABC满足CBA，若~AC，则____________.7.若E,且0,..fxaexE,则()Efxdx=______.8.设C是0,1中的Cantor集,则0,1Cxdx=______.9.Lebesgue可测集类的基数______.二.判断题(每题2分,共20分)1.若mE,且,mkEfxfx则..aekEfxfx.()2.点集E的内点一定是聚点.()3.,nEFR,则EFEF.()4.12,GG为nR中的开集,若12GG且12GG,则12mGmG.()5.若{}kE是nR中的递增可测集合列,则limlimkkkkmEmE.()6.若nER,若*0mE,则fx在E上可测.()7.若函数fx在点集EnR上可测,则fx在E的任何一个子集上也可测.()8.fx在点集EnR上可积,则fx在点集E上是几乎处处有限的.()9.函数fxLEfx,fxLE.()10.若,mkEfxfx且..,aekEfxgx则,..fxgxaexE.()三.选择题(每题2分,共10分)1.下列命题错误的是()A.若,E则cE.B.若12,EE,且12EE,则1212mEEmEmE.C.若12EE,则***1212mEEmEmE.D.设,iE则1iiE.2.设fx,1,2,kfxk是上几乎处处有限的可测函数,关于函数列{}kfx的各种收敛性之间的关系,错误的是()A.若lim,kkfxfxxE,则..aekEfxfx.B.若..aekEfxfx,则.mkEfxfxC.若kfx在E上一致收敛于fx，则limkkfxfx.D.若mE,且..aekEfxfx,则mkEfxfx.3.下列集合不是可数集的是（）A.1R中的整数集ZB.自然数集NC.0,1中的Cantor集D.1R中互不相交的开区间族4.下面命题错误的是（）A.设,fxgx是E上的非负可测函数，若fxgx，则EEfxdxgxdx.B.若存在E上非负可积函数()Fx，使得()(),fxFxxE，则()fx在E上可积。C.若()fx是E上非负可测函数，,AEA，则AEfxdxfxdx。D.若()fx在E上有界，则()fx在E上可积。5.下列关于开集的说法错误的是（）A.若cG是闭集，则G是开集B.若EE，则E是开集C.设1{}kkG是nR中的一个开集列,则其并集1kkG是开集.D.设1{}kkG是nR中的一个开集列,则其并集1kkG是开集.四.计算题(每题8分,共16分).1.20lim1nnnRxdx.2.若2,0,10,0,1\xxCfxxC,其中C为[0,1]中的Cantor集,求积分0,1()Lfxdx.五.证明题(1,2,3题各8分,第4小题10分).1.设()fx定义在可测集nER上。若2()fx在E上可测，且{:0}xEfx是可测集，则()fx在E上可测。2.设12,,nAAR12,AA1A是可测集且有*12mAmA.证明:2A是可测集.3.设mE,函数1,2,kfxk在E上几乎处处有限可测.则lim01kEkkfdxf0mkEfx.4.叙述并证明叶果洛夫定理的逆定理.