实变函数试卷一答案

实变函数试卷一答案一、判断题（每题2分，共20分）1、设1ER，若E是稠密集，则cE是无处稠密集。F2、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数。F3．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0EfxF4、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T5、若0mE，则0EmF6、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数F7．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0EfxF8、任意多个开集之交集仍为开集F9、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。F10、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T二、选择题（每题2分，共12分）1、下列各式正确的是（C）（A）1limnknnknAA;（B）1limnknknnAA（C）1limnnnnknAA;（D）以上都不对;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）（A）Pc(B)0mP(C)PP'(D)PP3、设}{nE是一列可测集，12nEEE，则有（B）。（A）1limnnnnmEmE(B)1limnnnnmEmE（C）1limnnnnmEmE;（D）以上都不对4、设}{nE是一列可测集，nEEE21，且1mE，则有（A）（A）nnnnmEEmlim1(B)nnnnmEEmlim1（C）nnnnmEEmlim1;（D）以上都不对5、设f(x)是],[ba上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）(A))(xf在],[ba上的一致连续函数(B))(xf在],[ba上处处可导（C）)(xf在],[ba上L可积(D))(xf是有界变差函数6、设,MN是两集合，则()MMN=（C）(A)M(B)N(C)MN(D)三、解答题（每题6分，共18分）1、设,()1,xxfxx为无理数为有理数，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。解：()fx在0,1上不是R可积的，因为()fx仅在1x处连续，即不连续点为正测度集因为()fx是有界可测函数，所以()fx在0,1上是L可积的因为()fx与x..ae相等,进一步，10,101()2fxdxxdx2、求极限13220limsin1nnxnxdxnx.解：设322()sin1nnxfxnxdxnx，则易知当n时，()0nfx又22|()|1nnxfxnx，但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的故有00lim()lim()0nnnnfxdxfxdx3、设2121(0,),(0,),1,2,,nnAAnnn求出集列{}nA的上限集和下限集解：lim(0,)nnA设(0,)x，则存在N，使xN，因此nN时，0xn，即2nxA，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多nA，得limnnxA，又显然lim(0,),lim(0,)nnnnAA所以limnnA若有limnnxA，则存在N，使任意nN，有nxA，因此若21nN时，211,0,00nxAxnxn即令得，此不可能，所以limnnA四、证明题（每题10分，共50分）1、试证(0,1)~[0,1]证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Qrr,令()x122()0()1(),1,2(),0,1nnrrrrnxxx为中无理数，显然01[01]是（，）到，上的一一映射所以(0,1)~[0,1]2、设()fx是,上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}aExfxa是闭集。P513、设)}({xfn为E上可积函数列，eaxfxfnn.)()(lim.于E，且Enkdxxf|)(|，k为常数，则)(xf在E上可积.P1334、设()fx在E上积分确定，且()().fxgxae于E，则()gx在E上也积分确定，且()()EEfxdxgxdxP1085、设在E上)()(xfxfn,而..)()(eaxgxfnn成立,,2,1n,则有)()(xfxgnP95