银行排队模型

银行排队机服务系统的优化模型摘要本文主要研究的是银行排队机服务系统的优化问题，针对该问题，我们组首先建立层析分析模型，目标函数为性能指标值Z.问题一：根据问访银行员工和顾客，并征求专家意见对银行排队服务过程中不同影响因子的重要程度两两比较得到比值，以此构造成对比较矩阵，通过MATLAB6.5处理矩阵得到最大特征根对应的特征向量，归一化处理得到各因子的权重.用excel对不同时间段的数据分别进行统计，用MATLAB6.5拟合并通过平移----标准差变换和平移----极差变换统计的各项因子标准化处理，与权重结合即得性能指标值Z.问题二：对银行排队窗口的优化，通过数学推导构建出排队论模型，由一周不同天数同一时间段的周期性特点，对数据按时间段用MATLAB6.5进行拟合，求解过程采用时间步长法，步长取h1,给定不同的窗口数求得各个参数进而得到性能指标值Z,便可解出给定条件下的最优窗口数，从而得到一周七天内各个时间段的最优窗口数.问题三：考虑对附近系统内银行网点的工作人员进行工作统筹安排，建立排队服务系统的优化模型.在满足一定性能指标值Z的前提下，以单位时间费用的期望值最小为约束条件，而银行窗口数为整数可知费用离散函数，利用边际分析方法求出最优的窗口数，进而建立窗口业务组合模型，通过对窗口所设业务组合是优化来分配银行员工数，得到人员安排的最优化结果.所用求权向量的矩阵通过了一致性检验，故可认为合理.综上所述，我们建立的银行排队机服务系统的评价模型可较好地估计出某个银行的服务情况，而服务情况的比较标准需要对多家银行进行估计，并按比例划分来评级；对银行窗口的优化考虑了各个时间段的最优窗口数，据了解符合现实情况；而对银行系统人员的安排，我们提出了优化业务组合来优化员工数，并给出了相应的改进.关键词：层次分析排队论窗口业务组合模型边际分析一、问题重述随着全球经济复苏，金融业危机逐步缓和，作为金融业主体的银行业的利润却不断缩水。因此，如何解决银行运作和服务的效率问题就越来越紧迫。一直以来银行柜台业务承受超负荷压力，排队时间长问题严重，柜台服务质量不高，导致人们怨声载道。事实上，银行也采取了各种各样的措施来解决此问题，把排队等待时间的长短作为业务员的业务考核已属常见，甚至有银行不惜增加银行的窗口数来缩短顾客等待时间。这样虽然一定程度上可以缓解排队问题，但是由于缺乏专业的研究和预测，达不到最优状态，银行的排队问题依然没有很好解决。而我们知道，银行排队问题涉及到诸如运筹学、高等数学、计算机软件等各方面的学科知识，在实施操作时，加上各方面的人为因素就更为复杂。一般来说，银行排队问题主要考虑单位时间内系统能够服务的顾客平均数，顾客平均的排队时间，排队顾客的平均数和服务窗口数量等因素。如果银行盲目增开了窗口，投入增加的同时还有可能使窗口闲置无用，得不到有效的利用。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡点，使顾客的等待时间，开设的窗口数，排队等待损失的顾客数三者达到最低的平衡状态。此题对已给某银行排队机服务信息（见长工09年5月至8月流水表），第一问是建立银行排队服务系统评价的优化模型（含顾客满意程度的评价）；第二问给出银行排队窗口的优化；第三问是考虑对附近系统内银行网点的工作人员进行工作统筹安排，建立排队服务系统的优化模型。二、问题分析第一问是要我们建立银行排队服务系统评价的优化模型（含顾客满意程度的评价）.首先需要从所给的数据表——长工09年5月至8月流水表中经过统计计算直接求得一些相关参数的值，还需要通过对数据表拟合数据得到另外所需的参数值，我们对这些参数分别标准化得到[0,1]区间的值,然后根据这些参数对于服务系统所占的权重的不同利用层次分析模型对其进行加权求和，加权因子由计算得出也做标准化处理，最终得到目标分析Z值，利用Z值的大小便可以对此排队服务系统进行综合评价.第二问是在第一问银行排队服务系统评价的基础上优化窗口数目，我们认为这里有必要引入排队论的知识。银行系统属于多服务窗混合制排队模型，根据银行可实现的窗口我们分别计算窗口数为10~2的情况，由于已知了窗口数便可利用排队论的知识，加上限制条件，分别可得到每个窗口对应的WqLsQAPm,,,,的值，并通过改进计算得到',','WqLsPm,仍把这五个参数代入以下式子求解，这样我们可得到不同的Z值，最大Z值的窗口数作为银行可选择的最优化的窗口。'5477.0'2568.01014.00612.0'0329.0WqLsQAPmZ第三问是要我们优化银行配置的员工数，主要考虑银行的成本即员工的薪酬方面问题。我们需要在满足一定性能指标值Z的前提下，给出单位时间费用的期望值的算法，并约束其值为最小时，建模得到最优化的窗口数，然后根据优化后的窗口数，把不同窗口数办理的不同业务进行组合到达顾客的等待时间最短，然后根据业务的组合形式对人员进行分配.三、问题假设1、影响服务系统评价的因素是有限的，不包括一些特设或突发情况例如顾客蛮不讲理或遭遇灾难等；2、对于不同影响因子之间的比例系数，经咨询了解是客观真实的，是有效的；3、服务系统评价不考虑银行成本影响，或者对于服务来讲对银行成本基本不影响或影响极小，故可以忽略不计；4、顾客的总体是无限的；5、顾客一个一个地到来，不同顾客之间到达相互独立；6、顾客相继到达的间隔时间是随机的，且其分布与时间无关；7、系统仅允许有限个顾客等候排队，即系统容量是有限的；8、顾客服务方式为一个一个地进行，采用先到先服务的原则；9、每位顾客的服务时间长度是随机的，其分布对时间是平稳的10、每个窗口单位时间的成本费均相同；11、每个顾客在系统中停留单位时间的费用相同；12、一个窗口可以办理多项业务.四、符合说明Ls：指队长，表示排队系统中的顾客数；'Ls是其标准化后的值；Wq：指等待时间，表示一个顾客在系统中的等待时间；'Wq为其标准化后的值；A：指绝对通过能力，表示单位时间能被服务完顾客的均值；Q：指相对通过能力，表示单位时间能被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比值；Pm：指损失概率，由于系统条件限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门受到损失的概率；'Pm为其改进后的值；S：服务系统中顾客的满意程度，可由队长Ls和等待时间Wq加权得到；Z：服务系统评价的性能指标值；Ci：服务系统评价中间层对目标层的权重因子，其中i=1,2,3,4,5,6；Di：服务系统评价细则曾对中间层的权重因子，其中i=1,2；V：矩阵的特征值；w：矩阵的特征向量.)(tPn：表示在长为t的时间内到达n个顾客的概率n：系统服务的窗口数m：系统的所能承受的最大容量，即顾客退票情况下队长的期望1：系统的服务强度，或称服务机构的平均利用率，n1),(ikP：系统有k个顾客时有i个顾客被服务完的概率0P：系统中没有顾客到达的概率e：单位时间平均进入系统的顾客数，QmeP)1(服L：平均忙着的服务窗个数，emPL)1（服Lq：表示系统中排队等候的顾客数，即队列长sW：顾客在系统中的平均逗留时间sC：单位时间内每个服务台的成本费wC：顾客在系统中停留的时间的平均费用tcos：系统单位时间内的总费用的期望值jix：表示窗口j含有业务i(i=1,2,3,6)W：系统中顾客总的等待时间.（注：本模型数据处理过程中相关变量时间单位为：秒，个体数量单位为：人）五、模型的建立第一问：1）建立层次分析模型我们把银行排队服务系统的目标Z定为第一层，即目标层；把主要影响Z的六个因子：损失概率mP，绝对通过能力A，相对通过能力Q，队长sL，等待时间qW，顾客满意程度S定为第二层，即中间层；把通过影响顾客满意程度S间接影响银行排队服务系统的两个因子：队长sL，等待时间qW定为第三层，即细则层。以中间层和细则层这两个层次来反应目标层Z，所列层次分析图如下：由于损失概率mP是越小越好，队长sL是越短越好，等待时间qW也是越短越好，而总目标Z值，我们令其取值越大越好，那么这些值对于Z值的大小起负向作用，故我们在模型求解时要对它们进行标准化的改进；而绝对通过能力A是越大越好，相对通过能力Q是越大越好，顾客满意程度S是越大越好，因此只需直接将这三个因子直接无量纲化后与上面改进后的因子加权求和即得最终的性能指标值。由图1及以上分析可得以下函数式：512346msqZCPCACQCLCWCS12+DsqSDLW综合以上两式，可得最终Z的函数式：125123466+D()()msqDZCPCACQCCLCCW2）构造成对比较矩阵经过上述建立的银行排队服务评价的层析分析，我们并不把所有的因子放在一起进行分析，而是两两之间的相互比较，对此采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素比较的困难。根据通用的1—9判断矩阵尺度表及对以上各个因子重要性的判断，分别构造出服务系统层次结构中中间层对目标层，细则层对中间层的比较判断矩阵。尺度含义1iC与jC的影响相同3iC比jC的影响稍强5iC比jC的影响强7iC比jC的影响明显的强9iC比jC的影响绝对的强2,4,6,8iC与jC的影响之比在上述两个相邻等级之间1,1/2,1/3，…，1/9iC与jC的影响之比为上面的互反数表1:1-9尺度的含义根据搜索到的资料并结合顾客自身的特点，我们认为对于细则层来说，等待时间qW比队长Ls的影响稍强，故在相应位置赋值为3或1/3，用公式表示即为//3/1qsijijDDDWL，得到以下矩阵D：1112212211/331Ddddd同理，把中间层对于目标层的影响分别赋值，根据对长沙市芙蓉南路中国农业银行调查了解的情况和从网上查找到的资料，我们对以下六种因子的影响做如下排序：损失概率mP绝对通过能力A相对通过能力Q队长Ls等待时间qW顾客满意程度S。我们把它们按照从小到大的顺序排序，逐一两两相比较，得到以下矩阵C.第二问：1）泊松分布和负指数分布推导排队系统理论也称随机服务系统理论，首先引入泊松分布和负指数分布，并给出推导公式。1．泊松分布：()Nt表示在时间[0,)t内到达的顾客数，12(,)nPtt表示在时间段1212[,)()tttt内有(0)nn个顾客到达的概率，即1221(,){()()}nPttPNtNtn，当12(,)nPtt满足以下三个条件时，则称顾客的到达形成泊松流。无后效应：在不相交的时间去内顾客到达数是相互独立的，即在时间段[,]ttt内到达个顾客k的概率与时刻t以前到达多少顾客无关。平稳性：对于充分小的t，在时间间隔[,]ttt内有一个顾客到达的概率只与时间段的长度t有关，而与起始时刻t无关，且1(,)()Pttttot，其中0称为概率强度，即表示单位时间内有一个顾客到达的概率。普通性：对于充分小的t，在时间间隔[,]ttt内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，可以忽略不计，即2(,)()nnPtttot。以下为系统状态为n的概率分布。如果取时间段的初始时间为0t，则可记(0,)()nnPtPt。在[,]ttt内，由于0201(,)(,)1(,)(,)nnnnPtttPtttPtttPttt，故在[,]ttt内没有顾客到达的概率为2011(,)1(,)(,)()nnPtttPtttPttttot.将[0,]tt分为[0,]t和[,]ttt，则在时间段[0,]tt内到达n个顾客的概率应为(,){()(0)}nPtttPNttNn0{()()}{()(0)}kPNttNtkPNtNnk0()(,)nkkkPtPttt11()()()()nnPttPttot，即1()()()(,)()nnnnottPtPtPtttPtt，令0t，则1()()()nnnPtPtPtdd