对2008广东高考理科数学试卷第21题的评析

对2008广东高考理科数学试卷第21题的评析焦晓东广东惠阳中山中学广东惠州516211【摘要】本文依据《2008年高校招生考试新课程考试大纲(理科数学)》、《2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）》及《新课程标准》对2008广东高考理科数学试卷第21题所体现的背景、功能及今后中学数学教学与复习作出合理化的建议。【关键词】广东高考;理科数学;评析;功能1问题的提出2008年广东高考理科数学试卷出台以后,第21题引起中学数学界许多议论，因为这道题似乎有超纲嫌疑。现将这道题抄录如下：设pq，为实数，，是方程20xpxq的两个实根，数列{}nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，，…）．（1）证明：p，q；（2）求数列{}nx的通项公式；（3）若1p，14q，求数列{}nx的前n项和nS．2该题的背景2.1高等数学背景该题的本质就是利用方程的特征根求解二阶递推数列的通项公式,因此有着浓厚的高等数学味道。所以,大部分中学数学教师认为该题超纲,也以此为据。诚然,此题若运用高等数学中的公式解,就明显失去了对学生数学思想方法的考查,变成了是否记住公式的考查,也就失去了今天大家对它的讨论。但是该题的初等解法可以说与高等数学几乎没有关系。2.2新课标背景《新课程标准》把等差数列和等比数列作为重要内容。“强调在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,即突出了问题意识,也有助于对数学本质的认识。”[1]而要解决好该题,一定要在该问题中发现蕴含在其中的等差数列与等比数列。因此,它有着深厚的新课标味道。2.3教科书背景专家一再告诫并且我们都知道,高考试题来源于课本又高于课本。那么,课本中能否找到该题的原型呢?试看:人教社A版必修（5）69PB组第6题:“已知数列{na}中,12125,2,23(3)nnnaaaaan，对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?”[2]拿试题与课本中的这道习题作一比较,发现题型完全一致,无非课本中的习题中项的系数是具体的数值,试题中项的系数是有关的字母，而字母的运算是高考考查运算能力的重点。此时,所有人都不再为是否超纲而争执。3试题评析《2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲说明（广东卷）》指出[3],命题的指导思想是:“坚持‘有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育’的基本原则，适当体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能”。那么该题具有这样的考查功能吗?我们先看解答过程:解1）由求根公式，不妨设，得2244,22ppqppq224422ppqppqp，224422ppqppqq2）由12nnnxpxqx与,pq得12()()nnnxxx112()nnnnxxxx(3.1)112()nnnnxxxx(3.2)i)若==0时,则0nx(3.3)ii)若,有且只有一个为0时,不妨设0,0则由(3.1)知1nnxx故数列{nx}是以1x为首项,以为公比的等比数列,故11nnxx=n(3.4)iii)若0时,则有112()nnnnxxxx数列{1nnxx}是公比为、首项为221xx的等比数列,因此1121()nnnxxxx,从而11nnnxx(3.5)两边除以1n得111nnnnxx(3.6)所以数列{nnx}是以1x为首项以1为公差的等差数列由等差数列的通项公式知:1(1)nnxxn,故nnnxn(3.7)iv)若0且时,数列{1nnxx},{1nnxx}分别是公比为、,首项为21xx,21xx的等比数列,所以由等比数列的通项公式得:1121()nnnxxxx(3.8)1121()nnnxxxx(3.9)联立11211121()()nnnnnnxxxxxxxx(3.10)两式相减得112121()()()nnnxxxxx,从而221,xpqxp，222x，1x121121()nnnxx,121121()nnnxx故11nnnx(3.11)综上:由i)ii)iii)iv)得:11()()nnnnnxn（3）把1p，14q代入20xpxq，得2104xx，解得12,所以11()()22nnnxn232311111111()()()...()()2()3()...()22222222nnnSn23111111()()2()3()...()22222nnn设231111()2()3()...()2222nnTn,则234111111()2()3()...()22222nnTn,两式相减得231111111()()()...()()222222nnnTn=1111()()22nnn1112()()22nnnTn13(3)()2nnSn由以上解答过程知,该题很好的体现了以下几个方面的要求:3.1新课标的理念新课标有十大基本理念[1],在此不再一一叙述。在该题中体现的基本理念如下:首先,体现的第一个理念是“构建共同基础,提供发展平台”。因为我们从第一问的解答知,只要考生能答到该处,一般可以解答出该题。所以,该题的入手点很好的体现了这个理念。其次,体现的第二个理念是提供多样课程,适应个性选择。“随着时代的发展,各行各业都对公民的数学素养提出了更高的要求,不同行业对数学的要求不尽相同,学生的兴趣、志向与自身条件也不相同。”[1]这就明确指出,不同人学习不同数学。当然,考查时,对不同的人就有不同的考查方法。该题第二、第三问的考查便是如此,所以很好的体现了这个理念。最后,“倡导积极主动、改进学习方法,使学生学会学习”。是高中数学课程追求的另一理念。[1]在教科书的数列章节中的阅读材料中,提到斐波那契数列,最后还强调“有兴趣的同学可以通过浏览互连网或查阅相关书籍搜集资料,进一步了解和研究斐波那契数列”。这一道题恰是斐波那契数列的推广,故集中的体现了这一理念。3.2全方位的考查功能我们经常会遇到一个问题:“高考考什么?”依据《大纲》与《说明》,最简单最直接的回答就是考基础知识、考数学思想方法、考基本能力、考个性品质。这道题到底是如何考查以上几个方面的呢?3.2.1考查知识由该题第一问的解答看出,只要知道一元二次方程的求根公式便会迎刃而解。因此,第一问纯粹考查一元二次方程的求根公式这个知识。由该题的第二问解答过程知,（3.4）,(3.5),(3.7),(3.8)的得出就是利用等差或等比数列的定义与通项公式。第三问的解答便是等比数列的前n项和公式。所以考查相应的基础知识。3.2.2考查思想方法3.2.2.1考查主要涉及换元法、消元法、构造法、错位相减法等方法该题第二问的解答开始由12nnnxpxqx结合,pq变形得12()()nnnxxx,将p,q用,代换,可以说是能够顺利解答本题的关键。因此用到换元法。由方程组(3.10)中解出nx时就是将nx,1nx看作方程中的两个未知元,利用加减消元法消去1nx得到nx。所以又用到消元法。从解答的字里行间无不存在构造的影子。例如:由原递推公式到(3.1),(3.2),由(3.5)到(3.6),都是为了构造等比或等差数列,有了这样的构造,这道题第二问基本就能解决。在解决第三问时,显然运用错位相减法即可马上得出答案。3.2.2.2考查主要涉及转化与化归、对称、方程、分类讨论与整合等数学思想先看,从解答一开始将12nnnxpxqx变形到12()()nnnxxx的目的就是为了将原来的递推数列转化为{1nnxx},{1nnxx}两个等比数列。将11nnnxx变为111nnnnxx是为了转化为等差数列。所以运用了转化与化归的数学思想。再看,为什么将12()()nnnxxx变为112()nnnnxxxx112()nnnnxxxx两个式子呢?有一个不是行了吗?解答到后面发现,若只有一个便很难继续解答,考虑到,的地位完全平等,所以利用对称的思想将,的位置互换,问题便迎刃而解。又看,联立11211121()()nnnnnnxxxxxxxx两式相减得112121()()()nnnxxxxx,显然联立的目的就是将1,nnxx看作两个未知数,利用方程的思想解得nx。还看,在得到112()nnnnxxxx,112()nnnnxxxx两式时为什么不直接构造两个等比数列呢?原来在数列{1nnxx},{1nnxx}中,若0,则至少有一个数列不是等比数列,故要进行分类讨论,且分类的标准随之产生。还有,11211121()()nnnnnnxxxxxxxx任何时候两式相减即可得出nx吗?当时这两个式子完全一样,所以又有了分类的思想与标准。最后在不同分类标准下将得出的结论(3.3),(3.4),(3.7),(3.10)整合得到答案。所以又用到分类讨论与整合的数学思想。3.2.3考查能力大纲明确指出:“数学科的考试,按照‘考查基础知识的同时,注重考查能力’的原则…….”[4]到底该题检测了哪些能力呢?首先,想的再好,也要通过算来实现。特别是第二问的解答,基本都是字母的运算,而运算求解能力是考纲中要求的能力之一。所以该题很好的考查了这方面的能力。同时,考纲要求考查的重中之重是考查逻辑思维能力,即抽象概括能力与推理论证能力。该题的第二、第三问的解答对逻辑思维能力都有非常高的要求。可以这样说,没有很强的思维能力,就不可能解决该题。3.2.4考查个性品质“个性品质指考生个体的情感、态度、价值观”。[3]“要求考生克服紧张情绪,以平和的心态参加考试,合理支配时间……”[3]该题总分是12分,难度也较大,若其它题已经答完,考生就要克服紧张情绪,以平和的心态对待该题,即使答不对或不全也没有关系,发挥自己的水平即可。因此,该题间接的考查个性品质。“数学科的命题,在考查数学知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查……”[3]由以上分析可知,该题以一元二次方程、等差(比)数列等知识为载体,着重考查了换元法、消元法、构造法、错位相减法、转化与化归、对称、方程、分类讨论与整合等数学思想方法,全面考查了运算能力、抽象概括能力与推理论证能力以及学生的个性品质。因此体现出了该题全方位的考查功能。3.3良好的选拔功能这道题分值12分,在高考阅卷完的总结会上,广东省高考数学评价组组长柳柏廉教授提供的数据是:“平均分是2.41,难度系数为0.208,有150人得满分,有23万多人0分。”因此有良好的区分度,所以有助于高校特别是“211院校”科学公正地选拔人才,所以作为高考压轴题是非常好的。3.4强大的导向功能高考的指挥棒作用是任何