基于万有引力定律的开普勒三定律

基于万有引力定律的开普勒三定律证明为简化系统，不妨先假设mM：M静止的参考系近似为惯性系，以此为参考系，考察m。以M质心为原点，m的矢径为r。由万有引力定律，rrGMmdtrdm322……⑴注意r和22dtrd在同一直线上则022dtrdrdtrddtrddtrdrdtd故Cdtrdr……⑵即m始终在一个过M并与C垂直的平面内运动（开普勒第一定律）另一方面，由于BA,位置间矢径扫过的面积ABrdrBAS21),(故单位时间扫过的面积，即面积速度221CdtrdrdtSd是个定值（开普勒第二定律）在m运动的平面内引入极坐标),(r，有,rr，dtdrdtdrdtrd,，对②式乘m并取模，则可化为Ldtdmr2……⑶（即角动量守恒）又由机械能守恒定律，ErGMmdtrdm22……⑷ErGMmdtdrdtdrm2222ErGMmmrLdtdrm22222rGMmmrLEdtdddrm22222rGMmmrLEmLrmddr22242222……⑸记1r为近日点，即)(minR1trrt，显然，在到达1r之前的半圈，0drd，在通过1r之后的半圈，0drd，⑸式变为2122222rGMmmrLEmmrLdrd……⑹我们选取适当的坐标，使在1r处取0，对⑹式换元mrLu，再做积分可得，mrLxmrLxmrLmrLmELmMGLGMmudumEuLGMmu002122222122arccos22上式化简可得，1322221cos21mMGELGMmLr……⑺与极坐标下的圆锥曲线具有相同形式cos1eepr（其中e为离心率，p为焦点到准线的距离）即，当总机械能0E时，离心率1e，轨迹为椭圆，当总机械能0E时，离心率1e，轨迹为抛物线，当总机械能0E时，离心率1e，轨迹为双曲线的一支。当轨迹为椭圆时，记其半长轴、半短轴、半焦距分别为cba,,，取远日点为)(maxR2trrt则carcar21,，记这两点的速率分别为21,vv则在21,rr的面积速率分别为222111,vrdtSdvrdtSd，由开普勒第二定律，dtSddtSddtSd21，则有12vcacav……⑻又由机械能守恒，caGMmmvcaGMmmv212121……⑼由⑻⑼式可以解得，)()(21caaGMcav，)()(22caaGMcav可得面积速率aGMbdtSd2由椭圆面积ab得周期GMaT32即2234GMTa（定值）（开普勒第三定律）再考察M，m差距不大的一般情况（双星系统）：显然，相对于两者整体质心静止的参考系是惯性系，以系统的质心为原点，到mM,的矢径分别为rR,，显然，0rmRM……⑽，对于M，运动方程为RRrRGMmdtRdM222)(化简为32322)(RRMmGmdtRd……⑾类似地，对于m，其运动方程化简后为32322)(rrMmGMdtrd……⑿由⑽式，显然我们可以选取一个适当的矢量l使得，mR，Mr将其带入⑾⑿，再对⑾⑿作差，即得到mM,的相对运动关系222)()(MmGdtrRd记以M为中心到m的矢径为l，则上式等价于lllmMGdtld222)(……⒀由对称性，反之亦然由此可以看出，对于mM,组成的双星系统，其相对运动关系等效于中心质量为)(mM的简化系统的运动关系，各个定律只要按中心质量为)(mM处理即可。