对二体摆振动规律的探讨

1对二体摆振动规律的探讨黎昌金1刘勇3余文春2,†（1内江师范学院物理与电子信息工程学院，四川，内江，641112）（2内江师范学院计算机科学学院，四川，内江，641112）（3资中县龙结中学，四川，资中，641208）摘要本文推出了二体摆振动的动力学特征方程，证明二体摆做简谐振动，并得到了二体摆振动的周期公式。利用本文结果研究表明，悬点固定单摆的周期公式和悬点做水平振动的单摆的周期公式可以作为二体摆的简谐振动的周期公式的特例给出。关键词二体摆，特征方程，周期1.前言我们在研究单摆时，其悬点是固定点。当悬点不是固定的[1]，而且悬点的质量不能忽略时，该系统变成了二体摆系统，如图1所示，质量为M和m的物体由一根长为l的不可伸长的轻质绳连接，质量为M的物体贯穿在一光滑的水平杆上，当我们用一力偶使轻质绳偏离平衡位置，然后自由释放，质量为M的物体沿杆来回振动，质量为m的物体在竖直面内绕M做圆弧摆动，摆动中相对于平衡位置的角位移(50)很小，绳长远远大于两物体尺寸，两物体可视为质点。系统的振动规律在文献[1]中进行了讨论，但是，我们认为他们观点和结论都是错误的。本文研究了二体摆的动力学特征，纠正了文献[1]中的错误，并给出了正确结果。2.二体摆的动力学特征方程我们采用隔离法来建立方程，首先以M为研究对象，该物体受到三个力即重力Mg，四川省教育厅基金（批准号：08zb081）资助的课题。†通讯作者：[e-mail]:NMgF图2xyMlm(xm,ym)(xM,0)图12杆对它的支持力N和绳子对它的拉力F的作用，如图2所示。建立图1所示的坐标，沿杆向右的方向为x轴的正方向，沿平衡位置竖直向下的方向为y轴的正方向。根据牛顿第二定律可知MNMgFMa(1)式中MMMaxiyj(2)由于M固定在杆上，只有在x轴上才有加速度，因此有0Myj(3)由(1)-(3)式可得对应的x和y轴上的标量方程sinMFxM(4)cos0FMgN(5)再以m为研究对象，该物体受到三个力即重力mg，绳子对它的拉力F和惯性力Mmxi的作用，如图3所示。根据牛顿第二定律可知MmmximgFma(6)式中mmmaxiyj(7)由(6)式可得对应的x和y轴上的标量方程sinMmFmxmx(8)cosmmgFmy(9)再对m建立轨迹切线方向的动力学方程sincosMmgmxml(10)式中为m在竖直面内绕M转动的角加速度。MmxmgF图3m:3利用坐标关系可得sinmMxxl(11)(4)式和(8)式相加得MmMmxmx(12)当很小时，有sin(13)联立(10)、(11)和(13)式可得20(14)其中1gmlMm(15)(14)式为二体摆振动的动力学方程[2]，表明二体摆作简谐振动，其频率由振动系统的质量、摆线长度和当地的重力加速度决定。3.二体摆振动的周期3.1二体摆振动周期简谐振动的周期公式为[2]2T(16)将(15)式代入(16)式得二体摆的周期为0TT(17)式中02lTg(18)2MmMm(19)(18)式是以M为固定点，以m为摆球的单摆周期公式。从(17)式可知，二体摆振动的周期是由系统的固有属性决定的，它与系统的质量，摆线长度以及当地的重力加速度有关。3.2固定悬点的单摆周期公式当Mm时，1，即0TT(20)(20)式表明，当Mm时，物体M的振动与物体m的振动相比较是可以忽略的，此时二体摆振动的周期公式回到了单摆振动的周期公式，即，固定悬点单摆周期公式可作为二体摆振动的周期公式的特例给出，同时也说明了二体摆周期公式的正确性。43.3悬点做水平振动的单摆的周期公式当Mm时，22，即022TT(21)(21)式是一个非常有意思的结论，它表明，当Mm时，物体M的质量与物体m相比较是可以忽略的，即相当于一个单摆的悬点不固定，而是可以自由滑动的，此时悬点在水平方向也做简谐振动，其周期是固定悬点单摆周期的22倍。从以上的讨论可知，文献[1]中的周期公式是错误的，其原因是系统重心实质上是在竖直方向做简谐振动。4.结论本文利用经典力学理论推出了二体摆振动的动力学特征方程，证明二体摆做简谐振动，并得到了二体摆振动的周期公式。利用本文结果研究表明，悬点固定单摆的周期公式和悬点做水平振动的单摆的周期公式可以作为二体摆的简谐振动的周期公式的特例给出。二体摆作简谐振动的运动学方程容易从动力学方程得到，本文从略。参考文献[1]傅可钦,王超良.类比策略在物理解题中的应用，中学物理教学参考[J].2008，37（12）：25-27.[2]漆安慎，杜婵英.普通物理教程-力学[M].北京：高等教育出版社，2005，284-287.