对竖直面内圆周运动中的几个基本问题的探讨

1对竖直面内圆周运动的几个基本问题的探讨[摘要]：用数学方法详细讨论了竖直平面内的圆周运动的一些基本问题。这些基本问题的解决，有助于加深对圆周运动的理解，并能够在需要的时候灵活运用。[关键词]：圆周运动，竖直平面，最低点，最高点，临界[正文]竖直平面内的圆周运动中有些问题，并不是严格的推理出来的，它们不同成份地带有直觉的不严格的色彩。本文力图对这些问题做出合理的科学的解释。但并不是因此而反对直觉在处理问题时所起到的作用，有时直觉能迅速地把我们引导到正确的思路上去，从而使问题迅速得到解决。它的重要性是不容忽视的。1．为什么小球经过最低点时速度最大我们可以从机械能守恒的角度来看待这个问题，当小球运动到最低点时具有最小的重力势能，因而具有最大的动能，所以小球经过最低点时速度最大。也可以从功和能和关系来这个角度来看待这个问题，小球在绳子（或杆）的弹力与重力共同作用下运动，而做功的力却只有重力。当重力的功（也就是合力的功）最多时小球动能增加的最多，因而具最大的速度，而此时小球恰在最低点（如图1所示）。分析小球为什么在最高低点有最大的速度和最高点具有最小的速度的意义不只是在于处理重力场中的问题，这种方法还可以推广到复合场中最大速度与最小速度的讨论。2．为什么小球经过最高点时速度最小这个问题的讨论方法与讨论为什么小球经过最低点时速度最大的方法是相同的，从而略去。3．为什么线球模型和杆球模型恰好通过最高点的临界速度不同对通过最高点时的小球进行受力分析，由牛顿第二定律可知rvmFmg2（1）对于线球模型来说，“线”只能提供拉力而不能提供支持力，因此（1）式中的F只能大于O图12等于零。这就造成了等式的左边mg+F最小为mg，而此时等式右边出现了最小的速度（即临界速度）grvmin对于杆球模型来说，“杆”即能提供拉力也能提供支持力，因此（1）式中的F即能大于零，也能小于零（小于零时表示支持力）。这就造成了等式左边mg+F最小为零，而此时等式右边出现了最小的速度（即临界速度）0minv。总之，线球模型和杆球模型恰好通过最高点的临界速度的不同是由线和杆所能提供的力的不同而造成的。线球模型不一定含有线，杆球模型也不一定含有杆。在识别线球模型和杆球模型时，关键要看所研究的对象起到的是“线”的作用，还是“杆”的作用。4．为什么小球经过最高点对线的拉力最小，通过最低点对线的拉力最大如图2所示，当球在最高点时，有rvmTmg211（2）当球在其它任何一个位置时（位于圆心上方），有rvmTmg222cos（3）两式联立有2221211cosvvrmmgTT（4）由于从高处往低处运动时重力势能是减小的，因而动能是增大的。也就是说上式中的02221vv，同时有01cos，因而021TT。这说明小球在任何一个不同于最高点的位置时，绳子的拉力都大于最高点。我们还可以用函数的思想来分析，（3）式变形可得cos2mgrvmT（5）θmgTTmgO图23这里为了表示一般，抹去了下标。当小球从最高点运动至与圆心等高的位置的过程中，v逐渐变大，cos逐渐变小，所以T逐渐变大。如果我们愿意，也可以将的范围从2,0扩展到2,0。这样很容易得到结论：在一圈的运动中，在最高点时绳子拉力最小；在最低点时绳子拉力最大；在对称的等高的位置上时，绳子拉力一样大。当然，我们还可以把（5）式化为只含有一个自变量的表达式。由机械能守恒定律可知2022121cos1mvmvmgr（6）式中0v表示小球在最高点时的速度，与（5）式联立消去v可得cos3220mgmgrvmT（7）从（7）式可以很容易看到绳子拉力T随角变化而变化的规律。5．为什么经过拱形桥顶部时速度达到gR就会平抛方法一：经过简单的运算可知，汽车经过最高点时恰无压力有gRv。假设此后汽车并不离开拱形桥，则会沿拱形面运动至桥的另一位置较低的点。此时速度大于原来（假定机械能是守恒的），即需要的向心力增大，但提供的向心力减小（只是重力的一个分力），如图3所示。因此物体必离心。另外，上面的分析没有约定新位置与拱形桥最高点相距多远，这就是说，这个距离是任意小都可以，因此我们说物体从最高点开始离开拱形桥。方法二：假设不存在圆轨道，我们知道汽车的运动必为平抛运动。只需要比较是抛物线的位置在上，还是圆轨道在上，就可以知道汽车是离开圆轨道平抛还是沿着圆轨道向下运动了。如图建立直角坐标系：图34以gRv为初速度的抛物线方程vtx221gtRy得RRxy221……………………………（1）在第一象限内的四分之一圆弧的方程为222xRy……………………………（2）若21yy，则汽车做平抛运动，否则将沿圆轨道运动，所以我们只需要讨论21yy的正负。由（1）（2）两式可得222212xRRRxyy对上式右边求x的导数，有RxRxyy11'2221当x=0时，导数为0，此时同时也有21yy（这在物理上的含义是汽车有相同的起点）；当x0时，导数大于0，函数21yy为增函数，加上x=0时021yy的条件可知，在x0的区间上有021yy。即抛物线在圆弧的上面，物体将离开圆形轨道平抛。6．为什么只要保证了小球能通过最高点，就可以保证小球在竖直面内完成完整的圆周运动图4xyORRxy225由第5部分的讨论知道，若对小球不加限制，当小球能够通过最高点时，将离开圆轨道做平抛运动。这说明有绳子对小球施加拉力，小球才会回到原来的圆轨道上来。从而绳子不会松弛而使小球离开圆轨道做近心运动。只要保证了球在运动过程中始终不做近心运动，就可以保证完成完整的圆周运动。因此，这就证明了线球模型中小球只要能通过最高点就可以保证小球完成完整的圆周运动。对杆球模型的分析是简单的，杆的约束使得球即不能靠近圆心，也不能远离圆心，只要能通过最高点，就能在重力和杆的共同作用下完成整个的圆周运动。