对简单的线性规划问题案例的探讨

-1-对《简单的线性规划问题》案例的探讨厦门一中陈建国（发表于《福建教育》2007年第7－8期）一、“线性规划”应关注的6个方面的问题“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修模块5，人民教育出版社A版高中数学教材将其安排在第三章《不等式》中，是二元一次不等式表示平面区域的后续内容。“线性规划”是以数学为工具，来研究人力、财力、物力、时间、空间等资源在一定的约束条件下。如何用最少的资源获取最大经济效益，属于最优化问题。中学数学的线性规划只是规划论中的极小部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性的特点，体现现代数学的特征，也生透露化归、数学结合等重要的数学思想，同时为解决实际问题提供了一种重要的解题方法――数学建模法。本节课的教学应该关注以下方面：1、突出应用。学习线性规划知识的最终目的就是运用其解决一些实际问题。生活中常遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，它们需要涉及线性规划相关知识。教学过程应该注意创设问题情境，通过一些由着丰富内涵和宽广外延的典型实例，如“火车运输问题”、“工厂生产安排”、“营养搭配问题”等生产、生活实际背景，以问题为驱动，激发学生对问题的解决产生兴趣，引导学生探索，经历问题的解决过程，体验数学在解决实际问题中的作用。规划问题的极为重要的技术环节，其步骤大致可分为四个部分：（1）审题，弄清题意，明确约束条件的目标要求，理顺数量关系。（2）建模，将文字语言转化为数学语言，列出线性约束条件、线性目标函数，建立相应的数学模型。（3）求模，应用“图解法”，先求出可行解、可行域，再求出最优解。（4）还原，将得出的结果还原为实际问题的结论。3、重视数学结合思想。本节课的重点是线性规划的图解法，其实质是“以形助数”，把抽象的数学语言转化为直观的图形，借助“形”的几何直观性来阐明“数”之间的关系，兼有数的严谨和形的直观之长，这就是数学结合的思想方法。图解法是解决线性规划问题重要且常用的方法，可以避免繁杂的计算，是一种基本的数学方法。在先前介绍的二元一次不等式表示平面区域的基础上，将线性归化问题中的线性约束条件（二元一次不等式组）所表示的平面区域描绘出来，借助直观图形，理解可行解、可行域等相关概念，进而将线性目标函数在图形上表示出来，从而求得最优解。4、运用多媒体辅助。由于本节内容的抽象性以及图形的复杂性，适合采用多媒体辅助教学。教师可以利用几何画板、“Z+Z”软件或图形计算器等工具，画出不等式组所表示的平面区域，直观、生动地揭示二员一次不等式组所表示的平面区域以及图形的变化情况，尤其是展示直线平移的过程。5、突破难点。本节课难点之一是把实际问题转化为线性规划问题，即建模。解决难点的关键是让学生尽量熟悉生活，体验数学与日常生活及其他学科的联系，帮助学生建构自己的数学知识，根据实际问题中的已知条件，确定约束条件和目标函数，并从数学的角度将其有条理地表述出来。难点之二是线性规划问题的图解法，突破难点的关键是“以形助数”，借助多媒体辅助教学，帮助学生领悟化归、数形结合的数学思想方法，引导学生弄清二元一次不等式所表示的平面区域以及目标函数所表示的几何意义，培养学生识图、画图的观察能力和联想能力。6、模块顺序对本节内容的影响。由于线性规划问题需要直线方程知识，相关内容出现在模块2，如果有的学校对于数学5个必修模块的教学顺序为1、4、5、2、3，那么在授课前，教师应该预先补充相关的知识，让学生了解直线方程及斜率、截距等概念，为线性规划问题的图解法作些知识层面上的铺垫。以下是《简单的线性规划问题（第一课时）》教学案例。-2-二、教学案例呈现教学目标（1）了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；（2）能根据条件，建立线性目标函数；（3）了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。教学重、难点线性规划问题的图解法；寻求线性规划问题的最优解.教学手段和方法运用信息技术手段，引导学生探索新知、寻求解决问题的方法教学过程实施的技术设备多媒体技术一、创设情景探究引新师：同学们，前几节课我们学习了用二元一次不等式、不等式组表示平面区域、表示一些实际问题的约束条件.本节课，老师将和同学们一起进一步探究和二元一次不等式、不等式组有关的数学问题.同学们是否记得，在完成本章第一节P84B组的第3题（为便于计算，个别数据作了修改）之后，老师给同学生留了什么问题？展示：火车站有某公司特运的甲种货物1530t，乙种货物1190t。现计划用A、B两种型号的车厢共51节运送这批货物。已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢。据此安排A、B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？师：将题目条件中的“共51节”删去，要同学们自己去探究：什么方案能使运费最少.对这个问题，同学们的探究结果如何？是否可以将你们的探究成果展示给全班同学？巡视……展示学生的探究成果1：3525153015351190xyxy化简得7530637238xyxy设总运费z＝0.5x＋0.8y，令7530637238xyxy＝＝得2822xy，∴zmin＝0.5×28＋0.8×22＝31.6（万元）师：同学们对这个结果谈谈看法.生2：从解题过程中，好像看不出为什么当2822xy，时，运费最少.生3：可以用不等式性质证明，当2822xy，时，运费最少.展示学生3的探究成果2-3-在不等式组75306(1)37238xyxy…………(2)中，不等式（1）两边同乘以11340,与不等式（2）两边同乘以13403之后相加，得到：0.50.831.6xy，这里等号成立的条件是：不等式（1）和不等式（2）同时取“＝”，由此解得2822xy.师：很好，成果2的结论是正确的，推理也有说服力。只是要分别在两个不等式两边同乘以11340与13403，这两个数是如何得到的呢？刚才提供成果2的这位同学说说，你是怎么得到这两个系数的？生3：用待定系数法。师：对了。同学们曾经在课外作业中遇到类似的问题，用待定系数法可以解决。同学们很认真，这种勇于探索的精神是很可贵的。今天老师将和同学们一起探究新的方法，希望对解决同类问题，能有一个简捷的方法。板书课题：简单的线性规划问题二、师生互动引导探新师：在现实生产、生活中，经常会遇到象刚才的运输方案选择问题，还有资源利用、人力调配、生产安排等问题。课本P98也给我们提出了一个关于生产安排的最大利润问题。展示：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？师：前几节课，我们学习了用不等式组表示平面区域，同学们可以根据题中的条件，布列不等式组，再结合图形解决问题。指导阅读课本P98－99展示问题的解决过程（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：2841641200xyxyxy…………（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图1，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。师：现在我们不去求有多少种可能的日生产安排，而继续探究新问题。展示：（3）提出新问题：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？师：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z，容易得到z与x，y的关系：z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：图1-4-当x,y满足不等式组（1）并且为非负整数时，求z的最大值是多少。师：现在是否还是可以容易地用待定系数法求解z的最大值？学生……沉默、思考。师：有兴趣的同学，可以在课后试试，去体会寻找系数过程的艰辛。我们现在来探究新的解题方法。把z=2x+3y变形为233zyx，同学们看到了什么？部分学生回答：看到了斜率为23的直线方程师：这条直线的位置能确定吗？生4：不能确定，因为z的变化，直线的位置就会发生变化。师：对了。现在我们来看看，直线的位置的变化与z的值变化有什么关系。几何画板演示师：当直线l：2x＋3y＝z移动时，由于斜率23k始终没有改变，所以直线在作平行移动。当直线过原点O时，z=0；当直线缓缓向上平移时，z的值逐渐增大……；当直线l过点B（2,3）时，z＝13；当直线l过点A（4,2）时，z＝14；这时直线l就不能向上移动了，于是z的值就不能超过14了。同学们说说，老师在演示过程中，直线l在移动，为什么始终和绿色区域有交点？生5：因为直线l的方程中的x，y表示的点(x,y)在绿色区域内，所以直线始终与绿色区域有交点。师：那么，又为什么直线l向上移动，z的值变大？-5-生6：因为直线z=2x+3y的方程变形为233zyx之后，直线在y轴上的截距是3z，直线向上平移，截距3z的值变大，所以z的值也相应变大.师：回答得好。根据这个思路，当直线l向上平移到点A时，直线不能再向上移动了，于是此时直线在y轴上的截距3z取得最大值143，也就是z取得最大值14。所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。三、揭示概念升华感知指导阅读课本，并揭示有关概念①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+3y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的一次解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．上述求利润最大值问题的可行域就是图1中的阴影部分，阴影部分每一个点的坐标（x,y）就是可行解，可行解解中的（4，2)为最优解。四、变式探究加深理解组织学生进行课本P100的探究活动（1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？学生自主探究……师：当条件改为：生产一件每甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，那么目标函数是什么？此时最优解是什么？生7：目标函数是z=3x+2y，最优解还是（4，2).师：哪位同学能更换数据，使得最优解是点B的坐标（2,3）？生8：条件改为：生产一件每甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利3万元，那么目标函数是z=x+3y，此时最优解是就是（2,3）。师：如何从目标函数表达式的特点看出，最优解是A点坐标还是B点坐标？生9：把目标函数可作直线方程时，它的斜率k如果小于可行域边界直线x+2y-8=0的斜率12，最优解是A点的坐标；当12k0时，最优解是B点的坐标；当k=12时，线段AB上每一个整数点的坐标都是最优解。师：概括得真好（鼓掌）.现在我们回到第一个问题――运输问题中，看看最少运费是否还需要用待定系数法求解？-6-几何画板演示师：由于这个问题中的目标函数z＝0.5x＋0.8y对应直线的斜率为58，可行域的两条边界直线的斜率分别为：75和37,因为753587，所以这两条边界直线的交点A的坐标（28，22）就是目标函数的最优解了。可见，图形分析给解决线性规划问题提供了简捷的方法。指导阅读P100例5及其解题过程例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0