导数在高中数学中的应用

导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组李凤德[摘要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数新课程应用一、知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1设函数dcxbxaxy23的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为0412yx，若函数在2x处取得极值0，试确定函数的解析式．解因为函数dcxbxaxy23的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为d,0，又曲线在P点处的切线方程为412xy，P点坐标适合方程，从而4d，又切线斜率12k，故在0x处的导数120xy，而cbxaxy232，cyx0，从而12c，又函数在2x处取得极值0，所以．，02048012412baba解得2a，9b，所以所求函数解析式为4129223xxxy．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2求函数212)(xxxf的值域．分析先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(xf的正负，进而求出函数)(xf的值域．解显然，)(xf定义域为，21，由于12221222221121)(xxxxxxxf，又1222721222xxxxx，可见当21x时，0)(xf．所以212)(xxxf在，21上是增函数．而26)21(f，所以函数212)(xxxf的值域是62，．⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(xf在闭区间ba,上可导，则)(xf在ba,上的最值求法：(1)求函数)(xf在ba,上的极值点；(2)计算)(xf在极值点和端点的函数值；(3)比较)(xf在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3求函数xxxf3)(3在233，上的最大值和最小值．分析先求出)(xf的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间233，上的最大值和最小值．解由于)1)(1(3)1(333)(22xxxxxf，则当1,3x或23,1x时，0)(xf，所以13，，231，为函数)(xf的单调增区间；当1,1x时，0)(xf，所以11，为函数)(xf的单调减区间．又因为18)3(f，2)1(f，2)1(f，89)23(f，所以，当3x时，)(xf取得最小值18；当1x时，)(xf取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(xf的正负即可，当0)(xf时，)(xf单调递增；当0)(xf时，)(xf单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4求xxxf3)(3的单调区间．分析应先确定函数)(xf的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解显然，)(xf定义域为,00,，又2222)1)(1)(1(333)(xxxxxxxf，由0)(xf，得1x或1x；又由0)(xf，得01x或10x，所以)(xf的增区间为1，和，1，减区间为01，和10，．（二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0xf的几何意义就是曲线在点))(,(00xfxP处切线的斜率，过P点的切线方程为))(()(000xxxfxfy，但应注意点))(,(00xfxP在曲线)(xfy上，否则易错．例5(2009·衡阳模拟)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.分析此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．(2009·衡阳模拟)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①②得x0＝32，k＝y0x0＝－14.∴所求曲线的切线方程为y＝－14x.⒉求两曲线切线方程例6已知抛物线xxyC221：和axyC22：，如果直线l同时是1C和2C的切线，称l是1C和2C的公切线，求公切线l的方程．分析本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解由xxyC221：，得22xy，所以曲线1C在点)2,(1211xxxP的切线方程是))(22()2(11121xxxxxy，即211)22(xxxy．(1)由axy2，得xy2，所以曲线2C在点),(222axxQ的切线方程是)(2)(2222xxxaxy，即axxxy2222．(2)若l是过P与Q的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以．，axxxx222121222消去2x，得0122121axx，由题意知0)1(244a，所以21a，则2121xx，即点P与Q重合，此时曲线1C和2C有且仅有一条公切线，且公切线方程为014yx．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7求证：不等式)1(2)1ln(222xxxxxx在,0x上成立．分析通过作差，构造函数)2()1ln()(21xxxxf，和)1ln()1(2)(22xxxxxf，再通过对)(1xf和)(2xf求导来判断．证明构造函数)2()1ln()(21xxxxf，则01111)(21xxxxxf．得知)(1xfy在，0上单调递增，又因为0x，所以0)0()(11fxf，即2)1ln(2xxx成立．又构造函数)1ln()1(2)(22xxxxxf，则0)1(4211)1(42441)(222222xxxxxxxxf．得知)(2xfy在，0上单调递增，又因为0x，所以0)0()(22fxf，即)1ln()1(22xxxx成立．综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8求和：12321nnxxx(其中0x，1x)．解注意到1nnx是nx的导数，即1)(nnnxx，可先求数列nx的前n和xxxxxxxxxnnn11)1(12，然后等式两边同时对x求导，有12321nnxxx2121)1(1)1()1()1]()1(1[xxnnxxxxxxnnnnn．例9求和：nnnnnnnCCCC)1(32321．解因为nnnnnnnnxCxCxCxCx)1(1)1(33221．上式两边对x求导，有123211)1(2)1(nnnnnnnnxnCxCxCCxn，再令1x，可以得到0)1(32321nnnnnnnCCCC．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A处，乙村位于离河岸km40的B处，乙村到河岸的垂足D与A相距km50．两村要在岸边合建一个供水站C，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a、千米元/5a，问供水站C建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解如图1，设点C距点Dxkm，则xAC50，40BD，2240xBC．总的水管费用为22405)50(3)(xaxaxf(500x)．又224053)(xaxaxf，令0)(xf，则30x．在500，上，)(xf只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30x处取得最小值，此时2050xAC．所以供水站C建在距甲村km20处才能使水管费用最省．三、结束语ABCDx图1导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．