基本不等式导学案

学案36基本不等式及其应用导学目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．自主梳理1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥____(a，b同号)．(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a＋b22____a2＋b22.3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.4．利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．自我检测1．“ab0”是“aba2＋b22”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2011·南平月考)已知函数f(x)＝12x，a、b∈(0，＋∞)，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系是()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A3．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0xπ)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx814．(2011·大连月考)设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)有最________值为________．5．(2010·山东)若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________________．探究点一利用基本不等式求最值例1(1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．变式迁移1(2011·重庆)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例2已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.变式迁移2已知x0，y0，z0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.探究点三基本不等式的实际应用例3(2011·镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)变式迁移3(2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；a＋b2≥ab成立的条件是a，b∈R＋；ba＋ab≥2成立的条件是ab0，即a，b同号．2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋bx，当a0，b0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a0，b0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a0，b0时函数在－ba，0，0，ba上是减函数，在－∞，－ba，ba，＋∞上是增函数；当a0，b0时，可作如下变形：y＝－－ax＋－bx来解决最值问题．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.142．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．83．已知a0，b0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2B．22C．4D．54．一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202km，那么这批货物全部运到B市，最快需要()A．6hB．8hC．10hD．12h5．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0x－y＋2≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()A.256B.83C.113D．4二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．7．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)已知0x43，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．10．(12分)(2011·长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝920vv2＋3v＋1600(v0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．学案36基本不等式及其应用自主梳理1．(1)a0，b0(2)a＝b2.(1)2ab(2)2(4)≤3.a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)x＝y小2p(2)x＝y大p24自我检测1．A2.A3.C4．大－22－15.[15，＋∞)课堂活动区例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．解(1)∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立，又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.(2)∵x54，∴5－4x0.y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－25－4x·15－4x＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1.∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy＝10＋24yx＋xy≥10＋2×2×4yx·xy＝18，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号．又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.变式迁移1C[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝52＋(2ab＋b2a)≥52＋22ab·b2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.]例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．证明方法一因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.同理1＋1b＝2＋ab.所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．方法二(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，因为a，b为正数，a＋b＝1，所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．变式迁移2证明∵x0，y0，z0，∴yx＋zx≥2yzx0，xy＋zy≥2xzy0，xz＋yz≥2xyz0.∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8.当且仅当x＝y＝z时等号成立．所以(yx＋zx)(xy＋zy)(xz＋yz)≥8.例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为：由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．解(1)依题意得y＝(560＋48x)＋2160×100002000x＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N*)．(2)∵x0，∴48x＋10800x≥248×10800＝1440，当且仅当48x＝10800x，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．变式迁移3解(1)由题意可设3－x＝kt＋1，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－2t＋1.当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝323－2t＋1＋3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%323－2t＋1＋3＋12t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝－t2＋98t＋352t＋1(t≥0)．(2)y＝－t2＋98t＋352t＋1＝50－t＋12＋32t＋1≤50－