基本初等函数第一讲

1/142.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(1)（I）复习回顾引例：填空（1）*)nnaaaanN个（；a0=（a)0；__＝na)Nn,0a(*(2)aman=____(m,n∈Z)；(am)n=___(m,n∈Z)；(ab)n=___(n∈Z)（3）___9；-_____9；______0（4）)0a_____()a(2；________a2(1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质；(3)(4)复习平方根的概念（II）讲授新课22=4，（-2）2=42，-2叫4的平方根23=82叫8的立方根；（-2）3=-8-2叫-8的立方根25=322叫32的5次方根…2n=a2叫a的n次方根1.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nxa，那么x叫做a的n次方根（nthroot）,其中1n，且nN。问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？nax是否正确？分析过程：例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为nax。从而有：3273，2325，236aa例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：)0a(an其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。2/14例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。结论3：0的n次方根是0，记作nna,00即当a=0时也有意义。这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：3.n次方根的性质：（板书）*)(2,12,Nkknaknaxnn其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。4.根式运算性质：（板书）①aann）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？例4：求33)2(，552，443，2)3(由所得结果，可有：（板书）②为偶数为奇数；nanaann|,|,性质的推导（略）：（Ⅳ）例题讲解例1．求下列各式的值：3381）（－）（2102）（－）（4433）－（）（（4）2)ba(（ab）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。（III）课堂练习：求下列各式的值(1)532(2)4)3((3)2)32((4)6252.1.1指数与指数幂的运算(2)（I）复习回顾1.填空na3/14（1）；_______32______,6453（2）______81______,8144；（3）；______)6(______,)3(5544(4)；_______a_____,a312510（5）_____)3(___,27755）（；（6）.______5____,)4(4466（II）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：25101052aa,a)a(；也可根据n次方根的性质来解：2552510a)a(a。问题1：观察34122510aa,aa，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232aa是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnma)a(对于分数指数幂也适用，那么2332332aa)a(，这说明32a也是2a的3次方根，而32a也是a2的3次方根（由于这里n=3，a2的3次方根唯一），于是3232aa。这说明3232aa可行。由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：板书1*,,,0(nNnmaaanmnm且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3：在上述定义中，若没有“a0”这个限制，行不行？分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331而实际上；问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂意义相仿。2.负分数指数幂：板书)1*,,,0(1nNnmaaanmnm且3.0的分数指数幂：（板书）4/140的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）(0,,)rsrsaaaarsQ；()(0,,)rsrsaaarsQ()(0,0,)rrrabababrQ问题5：若a0，α是无理数，则aα该如何理解？（引导学生先阅读课本P62——P62）即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25.当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)由此，同样可规定是无理数）的意义：p,0p(ap①ap表示一个确定的实数；②上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明从略；③指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。（III）例题讲解：例2．求值：43321328116411008－－－），（），（，分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：3232,,(0)aaaaaaa式中分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。2.1.1指数与指数幂的运算(3)（I）复习回顾1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质5/14分数指数幂概念有理指数幂运算性质(0,,)rsrsaaaarsQ；()(0,,)rsrsaaarsQ(0,,*,1)amnNn且()(0,0,)rrrabababrQ2.用分数指数幂表示下列各式（a0,x0）52a4x16xx3)a(（II）讲授新课例1．计算下列各式（式中字母都是正数）);ba3()ba6)(ba2)(1(656131212132.)nm)(2(88341分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：①结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；③根式需化成最简根式。例2．计算下列各式：);0a(aaa)1(322435)12525)(2(分析：（1）题把根式化成分数指数幂形式，再计算。（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。例3．求值：63(1)526743642;(2)231.512（III）课堂练习计算下列各式：2034321])154(35[221161161）（）－（）－（）（－nmnmaanmnmnmaaa1＝6/142.1指数函数测试题一、选择题1．函数f（x）=(a2-1)x在R上是减函数，则a的取值范围是（）A、1aB、2aC、a2D、12a2.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是()A、21(x+1)B、x+41C、2xD、2-x3.下列f(x)=(1+ax)2xa是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数4．函数y=1212xx是（）A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数5．函数y=121x的值域是（）A、（-1,）B、（-,0）（0，+）C、（-1，+）D、（-，-1）（0，+）6．下列函数中，值域为R+的是（）A、y=5x21B、y=(31)1-xC、y=1)21(xD、y=x217．已知0a1,b-1,则函数y=ax+b的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限二、填空题8．函数y=1151xx的定义域是9．函数y=(31)1822xx(-31x)的值域是10．直线x=a(a0)与函数y=(31)x,y=(21)x,y=2x,y=10x的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是11．函数y=3232x的单调递减区间是12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=7/14三、解答题13、已知关于x的方程2a22x－7a1x+3=0有一个根是2,求a的值和方程其余的根14、设a是实数，)(122)(Rxaxfx试证明对于任意a,)(xf为增函数15、已知函数f(x)=9|1|2aa(ax－ax)(a0且a1)在(－,+)上是增函数,求实数a的取值范围参考答案一、选择题1、D；2、D；3、B；4、A；5、D；6、B；7、A二、填空题8.(-,0)(0,1)(1,+)9．[（31）9，39]10．D、C、B、A。11．（0，+）12．08/14三、解答题13、解:2a2－7a+3=0,a=21或a=3.a=21时,方程为:8·(21)x2－14·(21)x+3=0x=2或x=1－log23a=2时,方程为:21·2x2－27·2x+3=0x=2或x=－1－log3214、证明：设21,xx∈R,且21xx则)12)(12()22(222122)122()122()()(2121122121xxxxxxxxaaxfxf由于指数函数y=x2在R上是增函数,且21xx,所以2122xx即2122xx0，又由x20得12x+10,22x+10所以)()(21xfxf0即)()(21xfxf因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，)(xf为增函数15、解:由于f(x)递增，若设x1x2,则f(x1)－f(x2)=9|1|2aa[(a1x－a1x)－(a2x－a2x)]=9|1|2aa(a1x－a2x)(1+a1x·a2x)0,故(a2－9)((a1x－a2x)0.(1)0912aa,解得a3;(2)09102aa,解得0a1.综合(1)、(2)得a(0,1)(3,+)。2.1.2指数函数及其性质（1）9/14讲解新课（一）指数函数的概念一般地，函数y=ax（a＞0，a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识拓展：（1）定义域为什么是实数集？（2）在函数解析式y=ax中为什么要规定a＞0，a≠1？练习：判断下列函数是否是指数函数：①y=2·3x；②y=3x－1；③y=x3；④y=－3x；⑤y=（－3）x；⑥y=πx；⑦y=3x2；⑧y=xx；⑨y=（2a－1）x（a＞21，且a≠1）.只有⑥⑨为指数函数.（二）指数函数的图象和性质问：指数函数y=ax，其中底数a是常数，指数x是自变量，幂y是函数.底数a有无穷多个取值，不可能逐一研究，选函数y=2x为例完成以下表格，并且