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复变函数与积分变换电信系通信工程教研室李广柱电话:0731-84261483手机:15973120248QQ:46860236Email:lgz1979@gmail.com2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-2课前回顾复变函数的积分积分的定义积分存在的条件积分的计算方法积分的性质2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-3本次课讲述的内容柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-4积分与路径的关系在上节课中,学习了两个积分的例子,注意到复变函数的积分:2CzdzRedCzz与路径有关;而复变函数的积分:却与路径无关,那么现在的问题是:在什么情况下复变函数的积分与路径无关?注意到,函数Rez在复平面上不是解析的;而z2却是解析的,因此解析性应是一个影响因素。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-5积分与路径的关系在上节课中,还学习了一个重要的公式:01d20czizz该函数在复平面上除了z=z0这点之外,其它地方处处解析,换言之,在以z0为中心的圆周内不是处处解析的,此时C内的区域已经不是单连通域,这就造成了积分与路径有关的结果。zxyor0z以上几个例子说明,积分是否与路径有关,与该函数的解析性,以及积分区域的连通性有关。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-6柯西积分定理积分在什么情况下与路径无关呢?这个问题的等价提法是:针对包含起点和终点的简单闭曲线,其上的积分何时恒为0?回答这个问题,有如下的定理:()d0cfzz柯西积分定理:如果函数在单连通域D内处处解析,那么f(z)沿D内的任意一条封闭曲线C的积分为0:定理中的C可以不是简单曲线。DC2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-7柯西积分定理下面利用一种简单的情况证明柯西积分定理,假设:(1).C是简单曲线;(2).f(z)的导数在D内连续。没有这两个条件,柯西积分定理依然是成立的,但证明就稍稍复杂一些。zxiy证明:记()(,)(,)fzuxyivxy()()()0CCCxyxyDDfzdzudxvdyivdxudyGreenvudiuvd2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-8柯西积分定理关于定理的说明:(1).如果曲线C是区域D的边界,函数f(z)在闭区域上解析,那么:DDC()d0cfzz(2).如果曲线C是区域D的边界,函数f(z)在区域D内解析,在闭区域上连续,那么柯西积分定理依然成立,即:DDC()d0cfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-9例:计算积分。解:211111(1)2zzzzizi2121d(1)zizzz由于和都在内解析,根据柯西积分定理可得:1z1zi12zi21122111111dd(1)22zizizzzzzzizi2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-102112211122212111111dd(1)2211111ddd2211d2122zizizizizizizzzzzzizizzzzzizizziii2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-11柯西积分定理的推论推论:如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,那么积分仅与起点、终点有关,而与连接起点和终点的路线C无关。()cfzdzDD0z1z0z1z1C2C1C2C如果起点为z0,终点为z1,则:1012()d()d()dzzCCfzzfzzfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-12柯西积分定理的推论DD0z1z0z1z1C2C1C2C如果固定起点为z0,让终点z2在区域D内任意变动,并记z2=z,便可确定D内的一个单值函数:1012()d()d()dzzCCfzzfzzfzz0()()dzzFzfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-13柯西积分定理的推论如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,那么函数:必为区域D内的解析函数,且满足:0()()dzzFzfzz()()Fzfz此性质与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-14原函数的概念如果函数F(z)在区域D内的导数为f(z),那么称函数F(z)为f(z)在区域D内的原函数。0()()dzzFzf显然,函数F(z)为f(z)在区域D内的原函数。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-15原函数之间的关系函数f(z)的任意两个原函数,仅相差一个常数,因此:0()()dzzFzf函数F(z)为f(z)在区域D内的原函数,那么函数f(z)在区域D内存在无穷多个原函数,且一般表达式为:()Fzc2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-16不定积分的定义称函数f(z)的原函数的一般表达式F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分,记为:()d()fzzFzc定理(类似于牛顿-莱布尼兹公式)如果函数f(z)在单连通域D内处处解析,G(z)为f(z)的原函数,则:1010()d()()zzfzzGzGz这里z0、z1是区域D中的两个点。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-17例:求的值。解:10dzzzz21()()2fzzFzz11002221011d()22zzzzzzzzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-18复合闭路的概念所谓“复合闭路”,是指一类特殊的有界多连通区域D的边界曲线Γ,它有若干条简单闭曲线构成,记为:12nCCCCDC1C2C3C其中,C的方向按逆时针进行;C1、C2、…、Cn的方向按顺时针进行,并且它们都在C的内部,同时互不包含也互不相交,上述Γ的方向称为多连通区域D的边界曲线的Γ方向。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-19复合闭路定理设D是以“复合闭路”为边界的多连通区域,若f(z)在D内解析,在边界上连续,则有:(1).(2).,其中C和Ck均取正方向。12nCCCC()0fzdz1()()knCCkfzdzfzdz复合闭路定理:2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-20例:计算积分,其中Γ为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线。解:因为函数在复平面内有两个奇点:221dzzzzxyo1221zzz0z1z根据题意可知,Γ包含了这两个奇点,在Γ内作两个互不包含、互不相交的圆周C1和C2,其中C1仅包含奇点0,C2仅包含奇点1。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-21121122222212121ddd1111dddd1102204CCCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzzzziii根据复合闭路定理可知:xyo11C2C2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-22柯西积分公式定理:设区域D的边界是逐段光滑的简单闭曲线C围成的,若函数f(z)在闭区域上解析(或f(z)在区域D上解析,在C上连续),则对于任意D中的点z,有:1()()2CffzdizDzCDDC2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-23柯西积分公式关于柯西积分公式的说明:(1).把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示,这是解析函数的又一特征;(2).公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式;(3).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值:1()()()2()2CCfffzddifzizz20001()()d.2ifzfzRe2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-24例:求下列积分。解:041sin1d2sin022zzzzizizi441sin12(1)d(2)d213zzzzzizzz41sin(1)d2zzziz因为f(z)=sinz在整个复平面内解析,z=0位于|z|=4内,由柯西积分公式可知:2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-2544412(2)d1312dd1321226zzzzzzzzzziii2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-26高阶导数公式定理:解析函数f(z)的导数仍然为解析函数,它的n阶导数为:()1!()()(1,2,)2()nnCnffzdniz其中C为函数f(z)的解析区域D内围绕z的任何一条正向简单闭曲线,而且他的内部全部包含于D。由此定理我们知道了一个解析函数的导数仍然是解析函数。高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分!2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-27高阶导数公式()1()2()()!nnCfidfzzn求积分时,可以利用高阶导数公式,将积分转换为求导问题,但是这要把积分的被积函数进行分解。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-28例:求积分,n为整数。解:如果n≤0,则被积函数在整个复平面上处处解析,根据柯西积分定理可知:1dznzezz1d0znzezz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-29如果n=1,则根据柯西积分公式可得:01d22zznzzezieiz如果n1,根据高阶导数公式可知:(1)00122d2()(1)!(1)!zzznnzzzeiizieeznn()010()2d()()!nnCfzizfzzzn2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-30Morera定理()d0Cfzz定理:设函数f(z)在单连通域D内连续,且对于D内任何一条简单闭曲线C都有下式成立:则f(z)在D内解析。Morera定理和柯西积分定理合在一起就是:若函数f(z)在单连通域D内连续,则f(z)在D内解析等价于下式成立:()d0Cfzz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-31小结柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第6讲-32作业习题3(*表示选做):6.(1),(4),(5),(7)9.*
本文标题:复变函数06-柯西积分定理
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