复变函数07-复数级数和幂级数

复变函数与积分变换电信系通信工程教研室李广柱电话：[phone]手机：[phone]QQ：46860236Email：[e-mail]2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-2课前回顾柯西积分定理柯西积分定理原函数与不定积分复合闭路定理柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-3本次课讲述的内容复数项级数复数项级数的定义敛散性判别幂级数函数项级数幂级数幂级数的收敛圆和收敛半径2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-4复数列的极限定义：设{αn}(n=1,2,…)为一复数列，其中αn=an+ibn，又假设α=a+ib为一个确定的复数，如果任意给定ε0，都能相应地找到一个正数N(ε)，使得下式在nN时成立：limnnn那么称α为复数列{αn}(n=1,2,…)在n→∞时的极限，并记为：也称复数列{αn}收敛于α。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-5复数列收敛的条件lim,limnnnnaabb那么对于任意给定的，就能找到一个正数N，当nN时，定理1：复数列{αn}(n=1,2,…)收敛于α的充要条件是：证明：根据复数列收敛的定义可知，如果，limnn0()()nnaibaib2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-6复数列收敛的条件从而有：()()nnnaaaaibb根据实数列极限的定义可知，上式表明：limnnaa同理可以证明：limnnbb反之，如果、，根据实数列极限的定义可知，当nN时，有以下两式成立：limnnaalimnnbb,22nnaabb2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-7复数列收敛的条件从而：()()()()nnnnnnnaibaibaaibbaabb根据复数列的定义可知：limnn定理1说明：可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-8级数的概念定义：设为一复数列，则称如下表达式为复数项无穷级数。{}{}(1,2,)nnnaibn121nnn部分和：无穷级数最前面n项的和：称为级数的部分和。121nnknks2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-9级数的收敛与发散如果部分和数列{sn}收敛，那么级数收敛，并将极限limnnss称作级数的和。1nn如果部分和数列{sn}不收敛，那么级数发散。1nn说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散性的基本方法是，利用极限limnnss2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-10例：判断级数的敛散性。解：考察级数的部分和可知，0nnz2-111(1),1nnnzszzzzz11limlim11nnnnzszz当|z|1时，，对部分和取极限可得：11nnzsz极限存在，因此当|z|1时级数收敛。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-11复数项级数收敛的充要条件定理2：级数收敛的充要条件是：实数项级数和都收敛。11()nnnnnaib1nna1nnb证明：因为级数的部分和121212()()nnnnnnsaaaibbbi2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-12复数项级数收敛的充要条件根据{sn}极限存在的充要条件，可知和的极限都存在，因此级数和都收敛。nnnsi{}n{}n1nna1nnb定理2说明，复数项级数的敛散性问题可以用实数项级数的敛散性判定方法来判定。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-13例：判断级数的敛散性。解：根据定理2，可以分别考察级数的实部和虚部的敛散性，11(1)ninn11nn根据定理2可知，原级数发散。实部为调和级数，是发散的；211nn虚部是收敛的；2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-14复数项级数收敛的必要条件定理3：级数收敛的必要条件是：11()nnnnnaiblim0nn证明：可以利用实数项级数的相应性质来证明。1lim0nnnn该定理说明，发散。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-15例：判断级数的敛散性。解：注意到，1innelimlim0innnne以上例子表明，可以首先利用定理3判断级数的敛散性，如果判断级数是发散的，自不必说；如果不能判断，则进一步利用定理2或定义来判断。根据定理3可知，该级数发散。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-16绝对收敛和条件收敛如果收敛，则称级数为绝对收敛；1nn1nn非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。由可知：22nnnnabab22111nnnkkkkkkkabab所以，如果实数级数和绝对收敛时，复数项级数也绝对收敛。1nn1nna1nnb2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-17复数项级数收敛的充分条件定理4：级数收敛的充分条件是该级数绝对收敛。1nn证明：由于，同时，2211nnnnnab2222,nnnnnnaabbab由级数绝对收敛可知，它的实部和虚部都绝对收敛，根据实数级数敛散性判定准则可知，和都收敛，因此原级数收敛。由此也可知，复数项级数绝对收敛的充要条件是，它的实部和虚部都绝对收敛。1nna1nnb2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-18例：判断级数的敛散性。解：注意到，2111nninlim0nn无法利用定理3判定级数是否收敛，为此利用虚数单位i的性质对级数化简可得：211111(1)nnnniinnn注意到，实部是发散的，因此利用定理2可知该级数是发散的。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-19复变函数项级数定义：设为一复变函数序列，其中各项在区域D内有定义，则称以下表达式：为复变函数项级数，并记为：121()()()()nnnfzfzfzfz{()}(1,2,)nfzn1()nnfz称为这级数的部分和。级数最前面n项的和：12()()()()nnszfzfzfz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-20复变函数项级数的和函数如果对于D内的某一点z0，极限：存在，则称级数在z0处收敛，s(z0)称为它的和。00lim()()nnszsz1()nnfz称s(z)为该级数在区域D上的和函数。如果级数在D内处处收敛，则它的和一定是z的一个函数s(z)，且满足：12()()()()nszfzfzfz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-21幂级数当或时，函数项级数的特殊情形：11()()nnnfzcza这种级数称为幂级数。11()nnnfzcz20120()()()()nnnnnczacczaczacza或20121.nnnnnczcczczcz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-22Abel定理收敛定理：如果级数在z=z0(≠0)处收敛，那么对于满足|z||z0|的所有z，级数必绝对收敛；如果z=z0处级数发散，那么对于满足|z||z0|的所有z，级数必发散。收敛定理又被称为Abel定理。请大家自行证明。0nnncz2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-23收敛圆和收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种：(1).对所有的正实数都收敛，由阿贝尔定理知：级数在复平面内处处绝对收敛。(2).对所有的正实数除z=0外都发散，此时，级数在复平面内除原点外处处发散。(3).既存在使级数发散的正实数，也存在使级数收敛的正实数。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-24收敛圆和收敛半径设时，级数收敛；时，级数发散，如下图所示：zzxyo..R收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域，被称作“收敛圆”。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-25收敛圆和收敛半径关于收敛圆有以下两个问题值得关注：0()nnncza问题1：幂级数的收敛范围如何？答案：是以z=a为中心的圆域。问题2：幂级数在收敛圆周中的敛散性如何？答案：在收敛圆周上是收敛还是发散，不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-26收敛半径的求法方法1，比值法：1lim0nnncc如果，那么收敛半径。1R如果，则级数在复平面内处处收敛，即。00nnnczR如果，则级数在复平面内除了z=0以外处处发散，即。0nnncz0R2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-27例：求幂级数的收敛半径。解：因为1,npnzpnZ1npcn11limlim()lim111(1)pnnnnpncncnn11R2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-28收敛半径的求法方法2，根值法：lim0nnnc如果，那么收敛半径。1R如果，则级数在复平面内处处收敛，即。00nnnczR如果，则级数在复平面内除了z=0以外处处发散，即。0nnncz0R2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-29幂级数的有理运算设：1200(),,(),nnnnnnfzazRrgzbzRr则有：000()()(),nnnnnnnnnnfzgzazbzabz00()()()()nnnnnnfzgzazbz12min(,)Rrr2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-30幂级数的复合运算设：1200(),,(),nnnnnnfzazRrgzbzRr若g(z)在Rr2内解析且满足|g(z)|r1，则有：0[()][()]nnnfgzagz2Rr说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数。2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-31幂级数在收敛圆内的性质定理4：设幂级数的收敛半径为R，则：00()nnnczz(1).它的和函数是收敛圆内的解析函数；0()()nnnfzczazaR(2).f(z)在收敛圆内的导数，可以通过将其幂级数逐项求导得到，即：zaR11()()nnnfzncza2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-32幂级数在收敛圆内的性质(3).f(z)在收敛圆内可以逐项积分，即：zaR0()d()d,.nnnccfzzczazczaR简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分。(常用于求和函数)2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-33例：求幂级数的收敛半径。解：0(cos)nninz1cosch(),2nnncinnee111limlimnnnnnnnnceeecee1Re2020年1月3日星期五《积分变换与复变函数》第7讲-34例：把函数表示成的幂级数，其中a和b是不相