复变函数与积分变换模拟题(开卷)

中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第1页（共5页）《复变函数与积分变换》模拟题（补）一．判断题1．函数若在某点可导一定在该点解析。（×）2.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内沿任意一条闭曲线C的积分为0。（×）3.zzzsin0是的一阶极点。（×）4.不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。（∨）5．函数在某区域内的解析性与可导性等价。（∨）6．若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析当且仅当yvxvyuxu,,,连续且满足柯西-黎曼方程。（×）7．2cos10zzz是的本性奇点。（×）8．若),(),(yxvyxu是的共轭调和函数，那么),(),(yxuyxv是的共轭调和函数。（×）二．填空题1．4)11(ii=1。2．设,iyxz求3z的虚部=323yyx。3．dzzz2||11=i2。4．2)11(zz的孤立奇点的类型为极点（可去奇点、极点、本性奇点）。5．L[t2+3t+2]=sss23223。6.3)3131(ii=1。7.0!nnnz的收敛半径为∞。中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第2页（共5页）8．函数142522zzz的解析区域为为复数ziz,2。9．ze1的孤立奇点的类型为本性奇点（可去奇点、极点、本性奇点）。10.设C为正向圆周|z|=1,则C2dz)i1z(1=0。三．计算题1.分别给出iz43的三角形式的指数形式.解：54)3(||22z，34arctan2)34arctan(kArgz,因此三角形式为))34tansin()34arctan(cos(5acriz指数形式为)34arctan(5iez2.判断下列函数在何处可导，何处解析？1）22)(iyxzf；2）)3(3)(3223yyxixyxzf解：1）,2,0,0,2,),(,),(22yyvxvyuxxuyyxvxyxu四个偏导函数均连续，但柯西黎曼方程xvyuyvxu,仅在x=y处成立，故函数在x=y处可导，处处不解析.(4分)2),6,33,3),(,3),(223223xyyuyxxuyyxyxvxyxyxu,33,622yxyvxyxv显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程xvyuyvxu,处处成立，所以函数处处可导，处处解析.3.设C为正向圆周|z|=3，计算积分I=Cdzzzz)2)(12(。解：因为函数)2)(12(zzz在3||z内的奇点为：221zz和,首先由复合闭路定理有中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第3页（共5页）CzzdzzzzdzzzzdzzzzI1|||2|21)2(12)2(12)2(12）（）（）（，由柯西积分公式有：izzidzzzzdzzzzizzidzzzzdzzzzzzzzzz54122212)2)(12(5)2(22)(2)2()2)(12(2|2||2|1||1||21212121所以.)2(12)2(121|||2|21idzzzzdzzzzIzz）（）（本题也可按留数定理去做.4．求函数0,00,)(ttetft的傅里叶变换。解：F[f(t)]=jejdtedteedtetftjtjtjttj1111)(0)1(0)1(0.5．求下列各函数在孤立奇点处的留数。1)2cos1zz；2))3)(2(1zzz在z=2处的留数；3)11sinz。解：1）0是2cos1zz的奇点，因为212sinlimcos1lim020zzzzzz，故z=0为可去奇点，因此0]0,cos1[Re2zzs.2）z=2是)3)(2(1zzz的一阶极点，故101)3)(2(1)2(lim]2,)3)(2(1[Re2zzzzzzzsz.中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第4页（共5页）3）z=1是11sinz的本性奇点，因为在1|z|+∞1253)1()!12(1)1()1(!51)1(!311111sinnnznzzzz，故1]1,11[sinRe1Czs.6．求解微分方程.1)0(,sin)()(xttxtx解：设L[x(t)]=X(s)对方程两边实行拉普拉斯变换得到211)()0()(ssXXssX即211)(1)(ssXssX所以ssssssssX11211121121)1)(1()(2222，故)cos(sin21)(tetttx.7．判断函数)2()()(222yxyixyxzf在何处可导，何处解析？解：,2),(,),(222yxyyxvxyxyxuyxyvyxvyyuxxu22,2,2,12四个偏导函数均连续，但要满足柯西黎曼方程xvyuyvyxxxu,2212需在21y处成立，故函数在21y处可导，处处不解析.8．已知323),(xxyyxv，求以v(x,y)为虚部的解析函数f(z)且f(i)=-1。解：显然323),(xxyyxv是调和函数.因f(z)解析，由柯西-黎曼条件，xuxyyvyuxyxv6,3322，中国地质大学（北京）继续教育学院2015年11课程考试第5页（共5页）由上面第一式得到：),(323xyxyu代入第二式得,6)(6xyxxyxu有Cxx)(,0)(，因此,3),(23Cyxyyxu,)3(3)(32323CizxyxiCyxyzf因.2,1,1)(4CCiif故.2)3(23)(32323izxyxiyxyzf