复变函数与积分变换级数和序列的基本性质

哈尔滨工程大学复变函数第四章级数§1级数和序列的基本性质学习要点掌握复数项级数和复变函数项级数的概念和性质哈尔滨工程大学复变函数{}(1,2,...),Re,Imnnnnnnnzaibnazbz复数列:这里1.复数列一、复数列和复数项级数{}{}nnzz若序列不收敛，则称发散0000,()0()||}limnnnnNnNzzzzzz若，当时，，则称{收敛或有极限，记作哈尔滨工程大学复变函数00,limlim,limnnnnnnzabizzaabb设则定理13.cosnznin1.例下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限11.(1)innzen2.(1)2nniz哈尔滨工程大学复变函数2.复数项级数121{}.nnnnnnzabizzzz设为一复数列，表达式称为复数项级数12....:nnnSzzz级数的部分和复数项级数的最前项的和称为级数的部分和1.nnnSz如果收敛，则称级数收敛lim.nnSS极限称为级数的和哈尔滨工程大学复变函数1,.nnnSz如果不收敛则称级数发散111,.nnnnnnzab收敛都收敛定理2复数项级数收敛的充要条件1lim0nnnnzz收敛定理3复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的条件哈尔滨工程大学复变函数11111..nnnnnnnnnnzzzzz若收敛，则称若收敛，发散，则称绝对收敛条件收敛3.绝对收敛与条件收敛11nnnnzz如果收敛，则也收敛.111,.nnnnnnzab绝对收敛绝对收敛定理5定理4哈尔滨工程大学复变函数111121(8)(1)(1)(2)!(1)1(3)[]2(4)nnnnnnnniinnninin例下列级数是否收敛？是否绝对收敛？哈尔滨工程大学复变函数11nnnnzz如果复数项及绝对收敛并且它们的和分别是及,那么级数柯西乘积12111(+++)nnnnzzzzzz.也绝对收敛，并且和是哈尔滨工程大学复变函数2112)(1)ninn级数是否收敛？2111;nnnan因为收敛111nnnbn3收敛，原级数收敛.1)(1)?1nnizn数列是否收敛练习哈尔滨工程大学复变函数设{fn(n)}(n=1,2,…),在复平面点集E上有定义，那么：12()()...()...nfzfzfz是定义在点集E上的复变函数项级数，记为1()()nnnfzfz或，设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛(于f(z))，或者此级数在E上有和函数f(z)，记作1()(),nnfzfz二、复变函数项级数和复变函数序列哈尔滨工程大学复变函数设12(),(),...,(),...nfzfzfz是E上的复变函数列，记作1{()}{()}nnnfzfz或lim()(),nnfzz(){()}(())(())(),nzEEzfzzEzEz设函数在上有定义，如果在上每一点，序列都收敛于，那么我们说此序列在上收敛于，或者此序列在上有极限函数记作哈尔滨工程大学复变函数注解1()()nfzfzN复变函数项级数收敛于的定义可以叙述为：0,0,,NnN使得当时有1|()()|.nkkfzfz0,0,,NnN使得当时有|()()|.nfzz注解2{()}()nfzzN复变函数序列收敛于的定义可以叙述为：哈尔滨工程大学复变函数一致收敛如果任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有0EzNn,)(NN.|)()(|zzfn.|)()(|1zfzfnkk或那么我们说级数或序列在E上一致收敛（于f(z)或）。)(zfn)}({zfn)(z2.基本理论哈尔滨工程大学复变函数注解：注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当，p=1,2,3,…时，有0)(NNEzNn,.|)(...)()(|21zfzfzfpnnn)(zfn哈尔滨工程大学复变函数柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函数序列{fn(n)}在E上一致收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个只与有关，而与z无关的正整数，使得当时，有注解：0)(NNEzNnm,,.|)()(|zfzfmn哈尔滨工程大学复变函数注解：注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设在复平面点集E上,...)2,1)}(({nzfn有定义，并且设......21naaa是一个收敛的正项级数。设在E上，)(zfn,...),2,1(|)(|nazfnn那么级数在E上一致收敛。哈尔滨工程大学复变函数定理1、2：定理2.1设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),连续，并且级数或序列在E上一致收敛于f(z)或，那么f(z)或在E上连续。)(zfn)}({zfn)(z)(z定理2.2设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…),连续，并且级数或序列{fn(n)}在C上一致收敛于f(z)或，那么)(zfn)(z或,)()(1CnCndzzfdzzf.)()(CCndzzdzzf哈尔滨工程大学复变函数注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。哈尔滨工程大学复变函数内闭一致收敛：设函数序列,...)2,1)}(({nzfn在复平面C上的区域D内解析。如果级数)(zfn序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或。)(z)(z哈尔滨工程大学复变函数定理3：定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数,...)2,1)}(({nzfn在区域D内解析，并且级数或序列{fn(n)})(zfn在D内闭一致收敛于函数f(z)或，那么f(z)或)(z在区域D内解析，并且在D内)(z或,)()(1)()(nknkzfzf,...).3,2,1(),(lim)()()(kzfzknnk哈尔滨工程大学复变函数定理3的证明（级数）：证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理,0)()(1nCnCdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是110)()(nknzzzf哈尔滨工程大学复变函数定理3的证明（级数）：对于一致收敛于。由定理2.2，我们有Kz10)()(kzzzf,)()(21)()(2111010nKknKkdzzzzfidzzzzfi也就是,...)3,2,1(,)()(1)()(kzfzfnknk因此，定理中关于级数的部分证明结束。哈尔滨工程大学复变函数定理3的证明（序列）：对于序列，我们也先证明在D内任一点z0)(z取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理,0)(lim)(lim)(CnnCnnCdzzfdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此在D内解析。)(z)(z其次，设U的边界即圆K也在D内，于是10)()(knzzzf哈尔滨工程大学复变函数定理3的证明：对于一致收敛于。由定理2.2，我们有Kz10)()(kzzzdzzzzfidzzzziKknnKk1010)()(lim21)()(21也就是dzzzzfiKknn10)()(21lim,...).3,2,1(),(lim)()()(kzfzknnk因此，定理中关于序列的部分证明结束。哈尔滨工程大学复变函数002010200()()()...()...nnnnnzzzzzzzz形如：3.幂级数其中0,1,2,…,z0都是复常数.20120.......nnnnnzzzz及的级数称为幂级数哈尔滨工程大学复变函数1111(0).nnnczzzzzzz若级数在收敛，则对满足的一切，级数绝对收敛1.阿贝尔(Abel)定理三、幂级数的敛散性质1z22.zzzzz如果在级数发散，则对满足的，级数发散2z收敛发散证明哈尔滨工程大学复变函数2.收敛圆和收敛半径对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:1)对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.2)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.3),,,..RRRRCCC有一个以原点为心为半径的圆内的点级数绝对收敛外部的点，级数发散RC此圆称为级数的收敛圆哈尔滨工程大学复变函数.RCR收敛圆的半径称为级数的收敛半径,,.在收敛圆周上的点级数是收敛的还是发散的要作具体分析xyo1zR收敛半径0.nnncz幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域收敛圆周2z收敛圆哈尔滨工程大学复变函数例如,级数:0020nnnnnnzznzn1,1Rz均为收敛圆周收敛圆周上无收敛点;1,1;zz在点发散在收敛在收敛圆周上处处收敛.哈尔滨工程大学复变函数3.收敛半径的求法01lim||()lim||(2)nnnnnnnnnczccc：对于幂级数，有如果比值法定或根值法理，0,01,00,nnnczR那么级数的收敛半径为哈尔滨工程大学复变函数201.....1..nnnzzzz求幂级数的收敛半径和和函数例31101(1)20,23co2(s)nnnnnnznzzninz求下列幂级数的收敛半径（）（并讨论在收敛圆周上的情况）（）（并讨论时的情况）（）例解答哈尔滨工程大学复变函数120012(),(),min(,),nnnnnnfzazRrgzbzRrzRrr设，则在内有4.幂级数的运算和性质001()()nnnnnnfzgzazbz00011002()()()()...)nnnnnnnnnnnfzgzazbzabababz（哈尔滨工程大学复变函数04,()nnnzrfzaz复合运算：当时0(),(),,(())[()]nnnzRgzgzrzRfgzagz又当内解析且则当时01012012000111012201102()3(),nnnnaazazfzgzbbzazcczczabcabcbcabcbcbc其中，，，哈尔滨工程大学复变函数121)min(,)rRrr加、减、乘后得到的新级数的收敛半径注：122)min(,)rRrr除法后得到的新级数的收敛半径例4000001(01),11=11nnnnnnnnnnnnnnzzaaazzzaa