复变函数中柯西留数分析与应用

期末小论文2013111963李楠复变函数中柯西留数分析与应用摘要文章首先介绍柯西留数定理的重要性，分析柯西留数定理，柯西积分定理，柯西积分公式之间的关系，并进一步研究柯西留数定理在广义积分中的应用，通过一些学习实例和自己的体会探究数学分析与复变函数在解决一些复杂定积分问题如广义积分和反常积分上的异同。关键词复变函数中柯西留数定理，柯西积分定理，柯西积分公式，洛朗级数，反常积分，解析函数AnalysisandApplicationsofCauchyresiduetheoremAbstractThearticlefirstintroducestheimportanceofCauchyresiduetheorem,analysistherelationshipbetweentheCauchyresiduetheoremandCauchyintegraltheorem,Cauchyintegralformula,furtherresearchintheapplicationofthegeneralizedintegral,bysomeexamplesoflearningandpersonalexperiencetoexploremathematicalanalysisandthecomplexfunctioninsolvingsomecomplexproblemssuchasimproperintegralanddefiniteintegralimproperintegralonthesimilaritiesanddifferences.Keywords:Cauchyresiduetheorem,Cauchyintegraltheorem,Cauchyintegralformula,Laurentseries,Improperintegral,Theanalyticalfunction期末小论文2013111963李楠目录引言一柯西留数定理的概念与定义二柯西留数定理与柯西积分定理，柯西积分公式的关系三柯西留数定理的应用总结参考文献期末小论文2013111963李楠引言柯西留数定理是复变函数中非常重要的内容之一，在实际应用中也很重要，利用柯西留数定理在围线积分中的应用计算，探求柯西留数定理在一些特殊实积分,如反常积分、广义积分等中的应用，可以起到事半功倍的作用,它是研究计算定积分，尤其是对原函数不易直接求得的积分是一个有效的方法，其要点是将其划归为复变函数的周线积分，再把计算周线积分的整体问题，化为计算各孤立奇点处留数的局部问题,继而就可得到解决。一柯西留数定理的概念与定义留数定义：设函数()zf以有限点a为孤立奇点，即()zf在点a的某去心邻域0||zaR-内解析，则称积分()12zfdzipGò(:||,0)zaRrrG-=为()zf在点a的留数（residue）,记做()Rezzasf=。由柯西积分定理知道，当0Rr，留数的值与r无关，利用洛朗系数公式()()11(0,1,...)2()nnfcdniazzpz+G==?-ò有()112zfdzcip-G=ò即()1Rezzasfc-==柯西留数定理()zf在周线或复周线C所包围的区域D内，除123,,,...naaaa外解析，在闭域DDC=+上除123,,,...naaaa外连续，则()()12Reknzzzakcfdzisfp===òå二柯西留数定理与柯西积分定理，柯西积分公式的关系1柯西积分定理()zf在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则()0zcfdz=ò柯西积分定理的条件是D为单连通区域，则周线C内没有奇点，因此留数为0，所以()0zcfdz=ò，可以看出，柯西积分公式是柯西留数定理中没有孤立奇点的特殊形式。2柯西积分公式期末小论文2013111963李楠设区域D的边界是周线（或复周线）C,函数()zfD内解析，在DDC=+上连续，则有()()12zcffdizzzpz=-ò()fzzz-在D内的孤立奇点是zz=，根据柯西留数定理()()2Re2lim()2()zzcffdisififzzzzzzzzppzpzz===??--ò所以()()12zcffdizzzpz=-ò由此可知，柯西积分公式只是柯西留数定理中存在一个孤立奇点时的特殊形式3解析函数的无穷可微性由柯西积分公式可以得到()()1!()2()nncfnfzdizzzpz+=-ò，这是一个用解析函数()zf的边界值表示其各阶导函数内部值得积分公式，函数1()()nfzzz+-在zDÎ内只有一个n+1阶极点，由柯西留数定理推论公式()1()()Re()!nnzffzsznzzz+==-所以()11()()()2Re2()()!nnnzcfffzdisizznzzzzppzz++==?--ò即()()1!()2()nncfnfzdizzzpz+=-ò可以看出，该公式是柯西留数定理中函数有一个n+1阶极点的特殊形式综上研究，柯西积分定理，柯西积分公式以及推论都是柯西留数定理的特殊情形，掌握柯西留数定理可以轻而易举地解决很多复杂的积分问题。三柯西留数定理的应用下面就一道积分问题探究数学分析与复变函数就反常积分方面的差异期末小论文2013111963李楠计算220()nndxIxa+?=+ò，0a解法一在数学分析中，利用分部积分就有222222220021222201222210110222221121()()1()112(1)()12(1)2(1)()12322nnnnnnnnnnndxxaxIdxxaaxaIxdxaaxaIxdaanxaIIxaananxanIan+??+?-+?--+?----+-==++-=++=+-+=-+--+-=-蝌òò以此类推，并注意到1022201arctan2dxxIxaaaap+?+?===+ò即有122221222212322123125()()2224...1(23)!!(22)!!(23)!!2(22)!!nnnnnnIIannnIanannIannanp-----=---=--=-=--=-期末小论文2013111963李楠解法二利用复变函数中学过的柯西留数定理可以很简便地计算出此值，由极点处留数的计算，当0z是()fz的n阶极点时，有010011Re[(),]lim[()()](1)!nnnzzdsfzzfzzzndz--®=--所以220222211221112()112()2()12Re[(),]21()lim[](1)!()1lim[](1)!()(1)(22)(24)...lim(1)!()nnnnnnnnzainnnzainnzaidxIxadxdzxazaisRzzaidzaiindzzaidndzzaiinnnnzaipppp+?+??-??--®--®--®=+==++=?-=-+=-+---=-+ò蝌1222121212121(22)!(1)!(2)(1)!(22)!2(1)!(1)!(22)!2(22)!!(22)!!(23)!!2(22)!!nnnnnniinnainniainnnannnanpppp-------=---=---=---=-从上面两种求解方法对比可以得到，方法二应用留数定理进行积分求解，计算量小，思路清晰.显然,在第一种方法求解时,运用分部积分公式得到递推关系式子，其计算量远远大于第二种方法。期末小论文2013111963李楠总结在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。在解决一些广义积分，反常积分等较为复杂的积分问题时，虽然数学分析中的一些方法可以解决，但运算量大，内容繁琐，而留数公式则大大简化了计算量,回避了计算量大的缺点，并且体现了思维的简洁性，思路的清晰性，给人一目了然的感觉。参考文献［1］钟玉泉.复变函数论［M］高等教育出版社，2004.［2］盖云英.复变函数与积分变换指导［M］科学出版社，2004.［3］陈纪修.於崇华.数学分析［M］高等教育出版社，2004.