复变函数教案43

第四章教学课题：第三节解析函数的泰勒（Taylor）展式教学目的：1、掌握泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题；2、充分理解幂级数的和函数在收敛圆周上的状况；3、了解幂级数的四则运算及其幂级数的各种展开法。教学重点：泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题教学难点：幂级数的各种展开法教学方法：启发式、讨论式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：主要研究在圆内解析的函数如何展开成幂级数的问题。教学过程：第三节解析函数的泰勒展式1、解析函数泰勒定理：定理4.14、设函数f(z)在圆盘RzzU|:|0内解析，那么在U内，...)(!)(...)(!2)()(!1)(')()(00)(200000nnzznzfzzzfzzzfzfzf证明：设Dz。以0z为心，在U内作一个圆C，使z属于其内区域。我们有Cdzfizf,)(21)(由于当C时，100qzzz，又因为)1|...(|...1112n所以010000000)()(111)(11nnnzzzzzzzzzzz上式的级数当C时一致收敛。把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得...)(...)()(0010nnzzzzzf其中，)1!0,...;2,1,0(,!)()()(210)(1nnzfdzfiCnnn由于z是U内任意一点，定理的结论成立。定理4.15函数f(z)在一点0z解析的必要与充分条件是：它在0z的某个邻域内有定理4.14中的幂级数展式。注解：在定理4.14中，f(z)在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。推论4.11幂级数...)(...)()()(020201000nnnnnzzzzzzzz是它的和函数f(z)在收敛圆内的泰勒展式，即,...).2,1,0(!)(),(0)(00nnzfzfnn因此，我们有解析函数的幂级数展式的唯一性定理：推论4.12在定理4.11中，幂级数的和函数f(z)在U内不可能有另一种形式的幂级数。注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我们可以用多种方法求一个函数的泰勒展式，所得结果一定相同。例1、求zzezcos,sin,在z=0的泰勒展式。解：由于zzee)'(，所以1|)(0)(znze，因此...!1...!2112nzznzze同理，有...)!2(1)1(...!41!211cos2142nnznzzz...)!12(1)1(...!51!31sin12153nnznzzzz由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数---对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式。例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式：))1arg()1arg(|1|ln)1ln(zzizz解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为)!1()1(nn,…,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：...)1(...32)1ln(132nzzzzznn其收敛半径1。例2、求)1(z的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中不是整数），)01(ln)1ln(ze。解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶导数为，二阶导数为)1(，n阶导数为)1)...(1(n,…,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：...)(...)2(12)1ln(nzznzze其中!)1)...(1(nnn，其收敛半径为1。注解、这是二项式定理的推广，对为整数的情况也成立。