著名几何定理

著名几何定理目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分（重心定理）4、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。7、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）8、旁心定理及其性质9、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)10、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB^2+m×AC^2=(m+n)AP^2+m×PB^2+n×PC^211、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD12、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上13、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD14、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形。目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：15、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。*16、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。17、梅涅劳斯定理：当直线交△ABC三边所在直线BC,AC,AB于点D,E,F时18、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。*19、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线。20、塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则21、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线（这条直线叫西摩松线）。22、卡诺定理：在外接圆半径为R，内接圆半径为r的三角形ABC中，r和R有如下关系23、凡·奥贝尔定理：任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形。将相对的正方形的中心连起，得出两条线段。线段的长度相等且互相垂直（凡·奥贝尔定理适用于凸凹四边形）。*24、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。1=××EACEDCBDFBAF1=××FBAFEACEDCBD著名几何定理2sin2sin2sin4CBARr=目录(带“*”的表示作为了解或“证明：略”)：*25、莫利定理（Morley'stheorem）：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。26、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。27、蝴蝶定理（ButterflyTheorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。28、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半29、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD30、正弦，余弦定理，各种三角函数定理。著名几何定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）证明：“如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即:①CD^2=AD·BD;②AC^2=AD·AB;③BC^2=BD·AB;④AC·BC=AB·CD证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^2-AD^2-BD^2∴2CD^2=2AD·BD∴CD^2=AD·BD②∵CD^2=AD·BD(已证)∴CD^2+AD^2=AD·BD+AD^2∴AC^2=AD·(BD+AD)∴AC^2=AD·AB③BC^2=CD^2+BD^2BC^2=AD×BD+BD^2BC^2=(AD+BD)·BDBC^2=AB·BD∴BC^2=AB·BD④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD∴1/2AC×BC=1/2AB×CD∴AC×BC=AB×CD2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分（重心定理）证明：∵AD=AB/2，∴HF平行BE。又∵∠BGE=∠FGH。∴△BGE∽△FGH∴BG/GF=BE/FH。又∵FH=DH∴BG/GF=BE/FH=BE/DH=2。∴BG=（2/3）BF4、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL证明：作ABC的外接圆，直径CN，连接AN、BN∵CN是直径∴NB⊥BC，NA⊥AC∵AB⊥BC，BE⊥AC∴NB//AB，NA//BE∴四边形ANBH是平行四边形∴AH＝NB∵OM⊥BC∴M是BC的中点而O是CN的中点∴OM是△BCN的中位线∴OM＝NB/2∴AH＝2OM设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D,则可知D为BC中点。联结OD，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。5、欧拉定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线（欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半6、三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD∴PMDL共圆。（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR∴PMRDL五点共圆。PE为Rt△AHE斜边中线∴角PEA等于PAE同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC∴∠LEP等于90°∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点7、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，O1,O2,O3,O4分别是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的九点圆圆心，H1,H2,H3,H4分别是△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的垂心，E为DB边上A的投影，显然AE过H4点，容易证明△DH4E和△ABE相似，所以有DH4AB=DEAE=cos∠ADB同理有CH1AB=cos∠ACB=cos∠ADB所以CH1和DH4平行（垂直于同一条边）且相等，所以四边形CH1H4D是平行四边形，所以H1H4和CD平行且相等，同理可以证明：H1H2和AD平行且相等H2H3和AB平行且相等H3H4和BC平行且相等所以四边形ABCD与四边形好H1H2H3H4对应边相等，对应角相等，即两个图形全等，所以H1,H2,H3,H4四点共圆．8、旁心定理及其性质如左图，点M就是△ABC的一个旁心。这个交点到三角形三边距离相等。旁心是三角形的一个内角平分线（如图中AZ）与其不相邻的两个外角平分线（如图中BX与CY)的交点，它到三角形三边的距离相等。一个三角形有三个旁心（每条边对应一个）。若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。OCcOBbOAa性质1：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。性质2：旁心到三角形三边的距离相等。性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。性质5：∠BI1C=90°-∠A/2.性质6：AP1=r1·cot(A/2)=(a+b+c)/2.性质7：∠AI1B=∠C/2.性质8：S△ABC=r1(b+c-a)/2.性质9：r1=rp/(p-a).性质10：r1=(p-b)(p-c)/r.性质11：1/r1+1/r2+1/r3=1/r.性质12：r1=r/(tanB/2)(tanC/2).9、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)如图，AI是△ABC的中线，AH是高线。利用勾股定理来证明。在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²并且BI=CI那么，AB²+AC²=2AH²+BH²+CH²=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH=2AI²+2BI²方法一：方法二：10、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB^2+m×AC^2=(m+n)AP^2+m×PB^2+n×PC^2设θ是m和d的夹角，θ'是n和d的夹角。θ+θ'=π，cosθ′=−cosθ。那么，根据余弦定理：c^2=m^2+d^2-2mdcosθ，b^2=n^2+d^2-2ndcosθ'=n^2+d^2+2ndcosθ'；第一式两边乘以n，第二式两边乘以m，相加消去参数θ，即得mb^2+nc^2=nm^2+mn^2+(m+n)d^2=a(d^2+mn)。dnmθθ'ca11、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连