复变函数与积分变换试题及答案38

1一、填空题（每题4分，共20分）1、41i1()81622kie2、25|z|=1sind(2)zezzz03、幂级数nnnzn1525的收敛半径24、6sinRe[,0]zzsz＝11205、设1,||1;()0,||1,tftt，则付氏变换2sin[()]ft二、单项选择题（每题4分，共20分）1、1z是函数1()cos1fzz的A．极点，B.本性奇点，C.可去奇点，D.一级零点【B】2、函数152243(1)(2)zfzzz在复平面上的所有有限奇点处留数的和：A.1B.4C.－1D.2【A】3、设C为正向圆周||2z，则积分43[sin]d(1)zCzzezzz等于A．24，B．24i，C.0，D.12i【D】4、设211()sinfzzzz，则Res[(),0]fz为.A．1，B．2，C．0，D．2i。【C】5、设3()sin2tfzet，则拉氏变换[()]fz为A．22(3)4s，B.222(3)[(3)4]ss，C.224s，D.224(3)[(3)4]ss。【A】2三、解答下列各题（1-2每小题6分，3-6每小题7分，共40分）1、设ba,是实数，函数ibyaxxyzf)()(22在复平面解析，求ba,。解：2,22,211,.222uvybyxyuvxaxyxab分分分2、映射zzw1把圆周1||:zC变成什么曲线？写出曲线的方程。答：变成圆3分1121||1||1zwzzwzw分又曲线方程：－1＝1.分3、求积分dzzzC1sin2，其中2||:zC。解：22sinsin2[(,)(,)]411sinsin()2[]22()2sin.1zziResiResizziiiiii原式分分分34、求积分101()(2)Cdzziz，其中3:||2Cz。解：10(9)10122()21()49!22.1(2)czizdzziizii原式＝分分分5、求函数)()(||tetft的Fourier变换。解：0022F[()]()41113113.1tittititfteedteedttedtii分分6、求函数tttf2sin)(的Laplace变换。解：222L[()]L[sin2]{L[sin2]}42=()244.1(4)fttttsss分分＝分4四、解答下列各题（1、3每小题7分，2小题6分，共20分）1、将函数)1(1)(zzzf在圆环域|1|1z展开成Laurent级数。解：2201()2(1)11(1)111131(1)1(1)(1).2nnfzzzzzzzz分分分4、求一个函数)(zfw，使得它把上半单位圆盘}0)Im(,1||:{zzz共形地映射成上半平面}0)Im(:{ww。解：函数11zz将上半单位圆盘映照为第一象限3分2w将第一象限映照为上半平面2分故21()1zwz将上半单位圆盘映照为上半平面1分3、用Laplace变换解微分方程的初值问题：341txxxe，0)0(x，(0)1x。解：方程两边同时施加Laplace变换得：22411()(0)(0)3(()(0))4()4111154251()()21)(4)191)9136454251().99364tttsXssxxsXsxXsssXsssssssssxtteee分＝－－分（（（）（－4）－－1分