复变函数第七章学习指导

复变函数第七章学习指导一、知识结构7.17.137.147.17.47.6,,,,nznazbwwzzwwezLnwczd共形影射概念共形影射的基本理论黎曼定理定理定理边界对应定理定理保域性定理保角性定理保形性定理解析函数的影射特征的影射性质共形影射基本问题举例二、学习要求⑴理解解析函数的映射性质；⑵了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质；⑶理解分式线性变换的映射性质；⑷会求将区域G映射为G的共形映射)(zfW。三、内容提要解析函数的保域性定理7.1若函数)(zfw在区域G内解析，且不是一个常数，则G的象G)(Gf是区域．解析函数的保角性定义7.1设映射)(zfw在区域G内连续，若它使通过点Gz0的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点0z是保角的．若映射)(zfw在区域G内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G内的保角映射，或称该映射在G内是保角的．定义7.2若映射)(zfw在区域G内是单叶且保角的，则称该映射为区域G内的保形映射，或称该映射在G内是保形的．定理7.2若函数)(zfw在区域G内解析，则它在导数不为零处是保角的．定理7.3若函数)(zfw在区域G内单叶且解析，则它在G内是保角的．单叶解析函数的保形性定理7.4若函数)(zfw在区域G内单叶且解析，则⑴)(zfw是区域G内的保形映射，且G的像)(GfG为区域；⑵)(zfw的反函数)(1wfz在G内单叶且解析，并有GzfwGzzfwf)(,,)(1)(000001几个初等函数的映射性质⒈hzw(h为常数)的映射性质：⑴是一个平移变换．⑵在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01w．⑶将圆周映射为圆周．⒉kzw(k为常数，且0k)的映射性质：⑴是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．⑵在复平面上处处是保角的．这是因为，0kw在复平面上处处成立．⒊zw1的映射性质：⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称．⑵在复平面上除0z外，处处是保角的．⑶将圆周映射为圆周．对于z平面上的圆周（或直线）0)(22DCyBxyxA映射zw1当0,0DA时，将圆周映射为圆周；当0,0DA时，将圆周映射为直线；当0,0DA时，将直线映射为圆周；当0,0DA时，将直线映射为直线．⒋幂函数与根式函数的映射性质：1）幂函数nzwn,为大于1的自然数⑴设G为射线0argz，经nzw映射后的像G为w平面上的射线0argnw．⑵设G为圆周0rz，经nzw映射后的像G为w平面上的圆周nrw0．⑶nzw将模相同而辐角相差nπ2的整数倍的点1z与2z映射为同一点．⑷nzw将1,,2,1,0,π2)1(argπ2:nknkznkGk映射为π2arg0:wG．2）根式函数nzwn,为大于1的自然数根式函数的每个单值支具有将角形区域的张角缩小的映射性质．⒌指数函数与对数函数的映射性质：1）指数函数zwe⑴设G为平行于实轴的直线0yy，经zwe映射后的像G为w平面上的一条始于原点的射线0y．⑵设G为线段：π20,0yxx，经zwe映射后的像G为圆周0exw．⑶设kG为：π)1(2π2,kykx，k为整数，经zwe映射后的像G为w平面上从原点起始沿正实轴剪开的w平面．2）对数函数wzLn对数函数的每个单值支具有将角形区域映射成平行于实轴的带形区域的映射性质．分式线性变换的映射性质称变换dczbazw（7.7）为分式线性变换，其中的dcba,,,为复常数，且0bcad．（7.7）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．⑴保形性定理7.5hkzw(0k)在扩充复平面是保角的．定理7.6zw1在扩充复平面是保角的．由于分式线性变换在扩充复平面是单叶的，所以得定理7.7．定理7.7分式线性变换在扩充复平面是保形的．⑵保圆周性定理7.8分式线性变换将扩充复平面上的圆周或直线映射为扩充复平面上的圆周或直线．⑶保对称点性定理7.9设)(zfw为分式线性变换，若扩充z平面上两点1z与2z关于圆周c对称，则)(11zfw与)(22zfw两点关于圆周)(cfc对称．⑷保交比性定理7.10若有分式线性变换dczbazw则),,,(),,,(43214321zzzz其中，4,3,2,1,kdczbazwkkk定理7.11若分式性性变换将扩充复平面（z平面）上三个互异的点321,,zzz映射为扩充复平面（w平面）上的三点321,,，则此分式线性变换就惟一确定，且可写成231321231321::zzzzzzzz（8.11）定理7.12若G为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶、解析函数)(zfw将G映射为单位圆D；又若对G内某一点a满足条件0)(af且0)(af则函数)(zfw是惟一的．定理8.13设单连通区域G与G分别是简单闭曲线c与c的内部，若函数)(zfw在cGG上解析，且将c双方单值的映射为c，则函数)(zfw在G内单叶且将G映射为G．由于要求将点z映射为点0w，而关于z平面上的实轴与点对称的点是，关于w平面上的圆周c与点0w对称的点是，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点z映射为点0w外，还应将点z映射为点w．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为kzzkw,为待定系数为确定k，只须利用该变换需将实轴上的点xz映射为单位圆周1w上的点的事实，即当xz时，有xxkwk1由此得,eik为任意实数．至此，便得,0Im,eizzw为任意实数（7.12）经验证，（7.12）式即为所求．事实上，当xz时，由（7.12）式得xxwie1又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将z平面上的实轴（上半平面的边界）映射为w平面上的圆周1w（单位圆的边界）．又由于当z时，由（7.12）式得0w，而该点位于圆1w中，所以，由保域性定理（定理7.1）可知，（7.12）式将0Imz映射为1w，且将点)0(Im映射为点0w．至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求．四、典型例题例1试求将点1,0,分别映射为点,1,0的分式线性变换．解令1,0,321zzz，321,1,0，则由（7.11）式得zw11即为所求．例2(1)试求在映射2zw下，z平面上的直线xy及1x的像曲线．（2）在这两条曲线的交点处2zw是否保角？旋转角、伸缩率是多少？解令iuwv，izxy，则映射变为222iii2uxyxyxyv(1)z平面上的直线1l：xy在w平面上的像曲线是1L：0u，22yvuv2L1L2l1lx112zw图6.12z平面w平面y它是w平面上的正半虚轴；z平面上的直线2l：1x在w平面上的像曲线是2L：241uv，它是w平面上的一条抛物线（如图6.12）．（2）xy与1x的交点为01iz，因为00πi41i1id221i220dzzzezw所以映射2zw在交点01iz处是保角的，且旋转角为π4，伸缩率为22。例3求将上半平面0Imz映射为单位圆1w的分式线性变换，且使点z)0(Im映射为点0w(图1)．解用构造法．依题意，所求映射应将z平面上的实轴映射为w平面上的单位圆周1:wc．例4如果分式线性映射azbczdw将z平面上的圆周1z映射成w平面上的直线，问a，b，c，d应满足什么条件？解由azbczdw解得bdzcaww当1z时，bdcaww，故xOy图1(z)vuO(w)α1-1c●●dbdbcaca即222220dcacbdacbdba平面上的直线，只需022cd．故分式线性映射azbczdw将圆周映射成直线的充分必要条件是dc．例5求一个保角映射，将z平面上的弓形域i2z，Im()0z映射成w的上半平面Im()0w．xy()?fzw图6.141z2z3Z平面平面平面uvw平面解如图6.14，经计算交点为13z，23z，其中2z处圆弧的方向角为π3．可考虑先将z平面上的弓形域映射成平面（注意图中未画出平面）的角形域，再将角形域映射成w平面的上半平面．设分式线性映射将13z映射成平面上的点0.而23z映射成平面上的，于是该映射可写为33zz当0z时1；当iz时，13i22，所以映射33zz将弓形域映射成角形域：即为平面上的顶点在原点，且以射线2argπ3和argπ为两边的角形域．（读者可自行验证)再对施以旋转变换2πi3e，它将平面上的角形域顺时针旋转2π3而成为平面上的角形域．最后，再令3w，它将平面上的角形域映射成w平面上的上半平面．复合映射33zz，2πi3e，3w便得到32πi33333()3zezw即映射333zzw把z平面上的弓形域映射成w平面上的上半平面．例6求将1z映射为1w的分式线性变换，使得点)1(z映射为点0w（图2）．解用构造法．依题意，所求映射应将z平面上的单位圆周1:zc映射为w平面上的单位圆周1:wc．由于要求将点)1(映射为点0w，而关于圆周c与点对称的点是1（见图2），关于圆周c与点0w对称的点是，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，所求变换应将点z映射为点0w，且将点1z映射为点w，又因所求变换是分式线性变换，故可构造为kzzkw,1为待定系数即zzkw1令kk，得kzzkw,1为待定系数为确定k，利用c上的点的像一定位于c上的事实，不失一般性，可取点1z代入上式后应满足1w，即11kwk1于是，,eik为任意实数．图2(z)vuO(w)1-1c’●yxO1-1c●α于是，经验证,1,1eizzw为任意实数．即为所求．