多元微分与二重积分第五讲

多元微分与二重积分一.二元微分学概念1.极限,连续,单变量连续,偏导,全微分,偏导连续(必要条件与充分条件),(1)000000(,),(,),(,)xyffxxyyffxxyffxyy(2)lim,lim,limyxxyfffffxy(3)22,lim()()xyfdffxfydfxy(判别可微性)注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limxyxyfxffyfffxy2.特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyxyfxy:(0,0)点处可导不连续;(2)22(0,0)(,)0,(0,0)xyfxyxy:(0,0)点处连续可导不可微;二.偏导数与全微分的计算:1.显函数一,二阶偏导:(,)zfxy注:(1)yx型;(2)00(,)xxyz;(3)含变限积分2.复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]zfuxyvxy熟练掌握记号''12111222,,,,fffff的准确使用3.隐函数(由方程或方程组确定):(1)形式:*(,,)0Fxyz;*(,,)0(,,)0FxyzGxyz(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0xyzFdxFdyFdz(要求:二阶导)(3)注:00(,)xy与0z的及时代入(4)会变换方程.三.二元极值(定义?);1.二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点);(2)充分条件(判别)2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)(1)目标函数与约束条件:(,)(,)0zfxyxy,(或:多条件)(2)求解步骤:(,,)(,)(,)Lxyfxyxy,求驻点即可.3.有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}zfxyMDxyxy(2)实例:距离问题四.二重积分计算:1.概念与性质(“积”前工作):(1)Dd,(2)对称性(熟练掌握):*D域轴对称;*f奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;(3)“分块”积分:*12DDD;*(,)fxy分片定义;*(,)fxy奇偶2.计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换):以“D”为主;(2)交换积分次序(熟练掌握).3.极坐标使用(转换):22()fxy附:222:()()DxaybR;2222:1xyDab;双纽线222222()()xyaxy:1Dxy4.特例:(1)单变量:()fx或()fy(2)利用重心求积分:要求:题型12()Dkxkydxdy,且已知D的面积DS与重心(,)xy5.无界域上的反常二重积分(数三)五:一类积分的应用(():;;;;fMdDL):1.“尺寸”:(1)DDdS;(2)曲面面积(除柱体侧面);2.质量,重心(形心),转动惯量;3.为三重积分,格林公式,曲面投影作准备.第六讲:无穷级数(数一,三)一.级数概念1.定义:(1){}na,(2)12nnSaaa;(3)limnnS(如1(1)!nnn)注:(1)limnna;(2)nq(或1na);(3)“伸缩”级数:1()nnaa收敛{}na收敛.2.性质:(1)收敛的必要条件:lim0nna;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论);(3)221,0nnnnssassss;二.正项级数1.正项级数:(1)定义:0na;(2)特征:nS;(3)收敛nSM(有界)2.标准级数:(1)1pn,(2)lnknn,(3)1lnknn3.审敛方法:(注:222abab,lnlnbaab)(1)比较法(原理):npkan(估计),如10()nfxdx;()()PnQn(2)比值与根值:*1limnnnuu*limnnnu(应用:幂级数收敛半径计算)三.交错级数(含一般项):1(1)nna(0na)1.“审”前考察:(1)0?na(2)0?na;(3)绝对(条件)收敛?注:若1lim1nnnaa,则nu发散2.标准级数:(1)11(1)nn;(2)11(1)npn;(3)11(1)lnnpn3.莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提:na发散;(2)条件:,0nnaa;(3)结论:1(1)nna条件收敛.4.补充方法:(1)加括号后发散,则原级数必发散;(2)221,0nnnnssassss.5.注意事项:对比na;(1)nna;na;2na之间的敛散关系四.幂级数:1.常见形式:(1)nnax,(2)0()nnaxx,(3)20()nnaxx2.阿贝尔定理:(1)结论:*xx敛*0Rxx;*xx散*0Rxx(2)注:当*xx条件收敛时*Rxx3.收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)注(1),nnnnanaxxn与nnax同收敛半径(2)nnax与20()nnaxx之间的转换4.幂级数展开法:(1)前提:熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!xexxxR24111()1,22!4!xxeexxR35111(),23!5!xxeexxxR3511sin,3!5!xxxxR2411cos1,2!4!xxxR;211,(1,1)1xxxx;211,(1,1)1xxxx2311ln(1),(1,1]23xxxxx2311ln(1),[1,1)23xxxxx3511arctan,[1,1]35xxxxx(2)分解:()()()fxgxhx(注:中心移动)(特别:021,xxaxbxc)(3)考察导函数:()'()gxfx0()()(0)xfxgxdxf(4)考察原函数:0()()xgxfxdx()'()fxgx5.幂级数求和法(注:*先求收敛域,*变量替换):(1)(),Sx(2)'()Sx,(注意首项变化)(3)()()'Sx,(4)()()SxSx的微分方程(5)应用:()(1)nnnnaaxSxaS.6.方程的幂级数解法7.经济应用(数三):(1)复利:(1)nAp;(2)现值:(1)nAp五.傅里叶级数(数一):(2T)1.傅氏级数(三角级数):01()cossin2nnnaSxanxbnx2.Dirichlet充分条件(收敛定理):(1)由()()fxSx(和函数)(2)1()[()()]2Sxfxfx3.系数公式:01()cos1(),,1,2,3,1()sinnnafxnxdxafxdxnbfxnxdx4.题型:(注:()(),?fxSxx)(1)2T且(),(,]fxx(分段表示)(2)(,]x或[0,2]x(3)[0,]x正弦或余弦*(4)[0,]x(T)*5.2Tl6.附产品:()fx01()cossin2nnnaSxanxbnx