北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(文科)试题及答案

1昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合{|21}Axx，{|(3)0}Bxxx，则ABA.{|13}xxx或B.{|21}xxC.{|203}xxx或D.{|20}xx2．1+i||iA.2B.2C.1D.13.若,xy满足1,1,0,xyxyx则2xy的最大值为A．4B.2C.1D.24．已知,ab是实数，则“0a，且0b”是“()0abab”的A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.直线2ykx被圆2240xyy所截得的弦长是A．2B.4C.26D.626.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.2B.3C.4D.67.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第2天所织布的尺数为A.4031B.2031C.1031D.5318.已知点A（-2,0），B（2,0）,00Pxy（,）是直线4yx上任意一点，以AB，为焦点的椭圆过点P，记椭圆离心率e关于0x的函数为0()ex，那么下列结论正确的是A.e与0x一一对应B.函数0()ex是增函数C．函数0()ex无最小值，有最大值D.函数0()ex有最小值，无最大值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是.10.执行如图所示的程序框图，输出的S值为.2主视图左视图俯视图112开始否是1,18Sn输出SSSn6nn0n结束311.已知函数()sincosfxxx,那么()fx的最小正周期是．12.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为抛物线212yx的焦点，双曲线的渐近线方程为2yx，则实数a.13.已知RtABC，1ABAC,点E是AB边上的动点，则CEACuuruuur的值为；CECBuuruur的最大值为.14．若函数4,3,()log,3axxfxxx（0a且1a），函数()()gxfxk.①若13a，函数()gx无零点，则实数k的取值范围是；②若()fx有最小值，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知等差数列{}na的公差d为1，且134,,aaa成等比数列.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设数列52nanbn，求数列nb的前n项和nS.16.（本小题满分13分）在ABC中，3sincosaCcA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若3ABCS，223bc，求a的值．4分钟/天m2m3m5m6m4m6050403020频率/组距10OMPEDCBA17.（本小题满分13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t(分钟/天)20t2050t50t等级一般爱好痴迷(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.E，M分别为线段AB，PD的中点.（I）求证：PE⊥平面ABCD；（II）求证：PB//平面ACM；（III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由．519.（本小题满分14分）已知椭圆C：2221(1)xyaa，(,0),(0,1)AaB，圆O：221xy的圆心到直线AB的距离为32.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与圆O相切，且与椭圆C相交于,PQ两点，求PQ的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数2()e(2)xfxx，()exgx.（Ⅰ）求曲线y=()fx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()()()hxfxgx在区间[2,0]上的最大值和最小值.6昌平区2017－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(文科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．)题号12345678答案DBBDBACC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9.710.3711.π12.313.1;214.[1,1)；(1,3]三、解答题(共6小题，共80分.)15.（共13分）解：（Ⅰ）在等差数列{}na中，因为134,,aaa成等比数列，所以2314aaa，即22111+2)3adaad（，解得2140add.因为1,d所以14,a所以数列na的通项公式5nan.……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5nan,所以522nannbnn.得123231(2222)(123)2(12)(1)=122(1)222nnnnnSbbbbnnnnn……………13分716.（共13分）解：（I）因为3sincosaCcA，所以cos0A，由正弦定理sinsinsinabcABC，得3sinsinsincosACCA．又因为(0,)C，sin0C，所以3tan3A．又因为(0,)A，所以6A．……………6分（II）由11sin324ABCSbcAbc，得43bc，由余弦定理2222cosabcbcA，得2222cos6abcbc，即222()23()8312abcbcbcbc，因为223bc，解得24a.因为0a，所以2a.……………13分17.（共13分）解：(Ⅰ)由图知，(23426)101mmmmm，得0.005m.……3分(Ⅱ)由图知，该大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)1065%，所以从该大学中随机选出一人，“爱好”中华诗词的概率为0.65.……………6分(Ⅲ)由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意，得该大学选取的40名学生学习“中华诗词”时间的数据分组与频率分布表：组号123456分组[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]频率0.10.20.30.20.150.058GMPEDCBA由题意可得，100.1200.2300.3400.2500.15600.0532.5（分钟）故估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为32.5分钟.………13分18.（共14分）（I）证明：因为PAB为正三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB，又因为面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PE平面PAB.所以PE⊥平面ABCD.……………4分（II）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，所以点H为BD的中点.又因为M为PD的中点，所以MH//BP.又因为BP平面ACM,MH平面ACM.所以PB//平面ACM.……………8分（III）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD．……9分证明：（法一）连接EC．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD，所以PE⊥CD，因为ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E为AB的中点，所以ABC是正三角形，EC⊥AB.因为CD//AB，所以EC⊥CD．因为PE∩EC=E，所以CD⊥平面PEC，所以CD⊥PC．因为M，G分别为PD，CD的中点，所以MG//PC，所以CD⊥MG．因为ABCD是菱形，∠ADC＝60°，所以ADC是正三角形.又因为G为CD的中点，所以CD⊥AG，因为MG∩AG=G，HMPEDCBA9OGMPEDCBA所以CD⊥平面MAG，因为CD平面ABCD，所以平面MAG⊥平面ABCD．……………14分（法二）：连接ED，AG交于点O.连接EG,MO.因为E，G分别为AB，CD边的中点.所以//AEDG且AEDG，即四边形AEGD为平行四边形，O为ED的中点.又因为M为PD的中点，所以//MOPE.由（I）知PE⊥平面ABCD.所以MO⊥平面ABCD.又因为MO平面GAM，所以平面GAM⊥平面ABCD……………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，直线AB的方程为:1,0xyxayaa即：.由1a,得点O到直线AB的距离为：23,21aa解得3a故椭圆C的方程为2213xy.……………5分（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x，代入2213xy，得63y，此时263PQ.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，因为直线l与圆O相切，所以2||1,1mk即221mk由2213xyykxm，消去y，整理得222(13)63(1)0kxkmxm所以22222223612(13)(1)12(13)24,kmkmkmk由0,得0k，10设点1122(,),(,)PxyQxy，则212122263(1),1313kmmxxxxkk，所以222222121222(1)224()()1=231313kkkPQxxyykkk｜｜=222(1)2223313kkk，当且仅当2212,kk即1k时，||PQ有最大值为3.综上所述，||PQ的最大值为3.……………14分20.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()e(22)xfxxx，(0)2f，又(0)2f.故曲线y=()fx在点(0,(0))f处的切线方程为22yx.……………4分（Ⅱ）2()()()e(2)exxhxfxgxx设21()()e(22)expxhxxx，则22()e(44)=e(2)0xxpxxxx，则p(x)在区间[2,0]上单调递增，又(1)0p，当[2,1]x时，()()0pxhx；当[1,0]x时，()()0pxhx.所以函数()hx在区间[2,1]上单调递减，在区间[1,0]上单调递增，又因为22262e2e(2)2(0)eehh，所以minmax4()(1),()(0)2ehxhhxh.……………13分.