多项式练习题参考答案

1多项式练习题参考答案一、填空题1..13)(,14)(234xxxgxxxf则)(xf被)(xg除所得的商式为22xx,余式为73x.2．(),(),(),()[],()()()()2,fxgxuxvxPxuxfxvxgx若则((),())fxgx1((),())uxvx1．3.10()[]0,()|(),((),())nnnfxaxaxaPxafxgxfxgx且1()nfxa.4．1,42,0),3)(1(,232xxxxx中是本原多项式的为22,(1)(3),xxx31x.5.多项式200120002322002()4(54)21(8112)fxxxxxx的所有系数之和＝1（取1x得到），常数项＝20022（取0x得到）.6.能被任一多项式整除的式项式是零多项式；能整除任意多项式的多项式一定是零次多项式.7.多项式()fx除以(0)axba的余式为()bfa.8.设3232235(2)(2)(2)xxxaxbxcxd，则,,,abcd的值为2，9，23，13.9.5432()41048fxxxxxx在有理数上的标准分解式是23(1)(2)xx.10.242322xxxmxpx，则m-6，p3.二、判断说明题(先判断正确与错误,再简述理由)1．若),()()()()(xdxgxvxfxu则)(xd必为)(xf与)(xg的最大公因式.错.如()1,()1,()1,()fxxgxxuxxvxx，则()1dxx，但)(xf与)(xg互素.22．若)(),()(|)(xpxgxfxp在P上不可约，且)]()([|)(xgxfxp，则)(|)(xfxp且).(|)(xgxp对.由)(),()(|)(xpxgxfxp在P上不可约可得)(|)(xfxp或).(|)(xgxp若)(|)(xfxp，又)]()([|)(xgxfxp，因此()|[()()]()pxfxgxfx，即).(|)(xgxp3．设)(),(xfxp为P上的多项式，且)(xp不可约.若)(xp为)('xf的k重因式,则)(xp必为)(xf的1k重因式．错.如25()(2)5fxx，22x是)('xf在Q上的4重因式，但22x不是)(xf的因式.4．有理系数多项式)(xf在Q上可约,则)(xf有有理根.错.如()fx4224(2)(2)xxx在Q上可约，但)(xf没有有理根.5.若qp是整系数多项式()fx的根，,pq为互素的整数，则()(1)pqf.对.由qp是整系数多项式()fx的根可得pxq为()fx的因式，即()()()fxpxqgx，且()gx是整系数的，取1x可得()(1)pqf.6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根，因此在实数域上一定可约.错.一次实系数多项式有实根但不可约.7.若()()fxhx且()()gxhx，则()()()fxgxhx.错.缺(),()fxgx互素.8.若()|()gxfx则(),()1fxgx.错.如231|1xx，但23(1,1)1xxx9.数域P上的任意一个不可约多项式()px在复数域内没有重根.正确.10.多项式()fx有重根当且仅当()fx有重因式.3与所考虑的范围有关，在复数域上正确，在其它数域上有重因式未必有重根.三、计算题1．设,12)(,12)(3234xxxgxxxxxf求))(),((xgxf以及),(),(xvxu使)).(),(()()()()(xgxfxgxvxfxu解：利用辗转相除法得2112122123()()()()()(1),()()()()()(1)1,()()()(1)().fxgxqxrxgxxxxgxrxqxrxxxxxrxrxqxxx因此((),())1.fxgxx又21212212()()()()()(()()())()()()(1()()).rxgxrxqxgxfxgxqxqxqxfxqxqx2212((),())()()()(1()())()fxgxrxqxfxqxqxgx.所以2212()()1,()1()()1(1)(1).uxqxxvxqxqxxxx2．设234)(235xxxxxf(1)判断)(xf在R上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数;(2)求)(xf在R上的标准分解式.解:（1）42()5383.fxxxx运用辗转相除法可得：2((),())1fxfxxx.21xx为)(xf在R上二重因式.(2)由(1)可得)(xf在R上的标准分解式为22()(1)(2)fxxxx.解法2:)(xf的可能有理根为1,2,经检验2为)(xf的有理根,由综合除法可得210143224642123210因此有43222()(2321)(2)(1)(2)fxxxxxxxxx.21xx为4)(xf在R上二重因式.)(xf在R上的标准分解式为22()(1)(2)fxxxx.3.已知32()638fxxxpx，试确定p的值，使()fx有重根，并求其根.解:若()fx有重根,则23222()()()(2)(2)fxxaxbxabxaabxab.因此有2226,23,8.abaabpab解得2,2,4.abp或1,8,5.abp当4p时2为()fx的3重根;当5p时1为()fx的2重根,-8为单根.解法2:若()fx有重根,则((),'())1fxfx.22'()31233(4)fxxxpxxp.21()'()(2)(28)(82)3(4)(2)(28)(1),fxfxxpxpxxpxpx1'()(1)(5)(5)3fxxxp.当4p时,3()(2)fxx,2为()fx的3重根;当5p时,((),'())fxfx1x,1为()fx的2重根,此时2()(1)(8)fxxx,-8为单根.4.已知1i是多项式4324522xxxx的一个根，求其所有的根.解:由实系数多项式虚根成对性,1i也是4324522xxxx的根.43222()4522(22)(21)fxxxxxxxxx.因此()fx的所有根为1i,1i,12,12.5.当,ab满足什么条件时，多项式4()4fxxaxb有重根？解:显然当0ab时,0为()fx的四重根.当0a时,33'()444()fxxaxa.5()'()(3)4xfxfxaxb2322334444'()(3)()4392727bbbfxaxbxxaaaaa.当3427ba时,((),'())3bfxfxxa,3ba为()fx的二重根.显然0ab也满足3427ba.因此当3427ba时()fx有重根.四、证明题1．设2k为正整数,证明:()|()()|()kkfxgxfxgx.证明:当()|()fxgx时，有()()(),gxfxqx因此()()(),kkkgxfxqx即有()|()kkfxgx.反之设12()()()()srrrfxpxpxpx12()()()()smmmgxpxpxpx其中(),(),,()pxpxpx是互不相同的不可约多项式,0,0(1,2,,)iirmis.由()|()kkfxgx可得(1,2,,)iikrkmis,即(1,2,,)iirmis.因此有()|()fxgx.2．设)(xf是整系数多项式,a为整数,证明:).(|)5()5(|)5(afafa证明:若(5)|(5)af，令()()()fxxaqxr，其中()qx为整系数多项式，r为整数.(5)(5)(5)faqr.由(5)|(5)af可得0r.因此有()()().()0,(5)|()fxxaqxfaafa.类似可证当(5)|()(5)|(5).afaaf3.已知(),(),()fxgxhx是数域P上的多项式，,,,,0,0abcPabac，且22()()()()()()()()()()()()xafxxbgxxchxxafxxbgxxchx则22(),()xcfxxcgx.6证明:两式相加得:22(()())2()()xfxgxxcgx.由0c得2(,)1xxc.因此有2()()xcfxgx.两式相减有2()2()0afxbgx,,因此有22()2()xcafxbgx.由2()()xcfxgx及22()2()xcafxbgx可得2(22)()xcabfx.又ab,因此有2()xcfx.类似有2()xcgx.4.设0c，证明：若()()fxfxc，则()fx只能是常数.证明:反证法证明.假设()fx不是常数.(())fxn.在复数域上考虑,()fx至少有一个复根.由()()fxfxc可得0()()(())(),ffcfccfkckN.即,,2,,,cckc都是()fx的根,与()fx至多有n个根相矛盾.因此()fx为常数.